上界全体の集合

$ \mathcal{U}: 2^X\ni B\mapsto\{x\in X|\forall a\in B;a\le x\}\in2^X

性質

$ \mathcal{U}(\varnothing)=\{x\in X|\forall a\in\varnothing;a\le x\}=X

$ \mathcal{U}(\{a\})=\{x\in X|a\le x\}=[a,\infin\lbrack

$ \mathcal{U}(A\cap B)=\{x\in X|(\forall a\in A;a\le x)\land(\forall b\in B;b\le x)\}

$ =\{x\in X|\forall a\in A\cap B;a\le x\}

$ =\mathcal{U}(A)\cap\mathcal{U}(B)

$ \forall x,y\in\mathcal{U}(X);x=y

proof:

$ \forall x,y\in X

$ x,y\in\mathcal{U}(X)

$ \iff \forall a\in X;a\le x\land a\le y

$ \implies x\le x\land x\le y\land y\le x\land y\le y

$ \iff x\le y\land y\le x

$ \iff x=y