tensor微分
nabla$ \bm\nablaを$ \frac{\partial}{\partial\bm r}と表すこともしばしば 単純に$ \frac{\partial}{\partial\bm T}=\bm e^i\bm e^j\frac{\partial}{\partial T^{ij}}とするわけにもいかない
nablaの場合は$ \mathrm d\bm r=\bm e_i\mathrm d r^iという関係が任意の基底で成り立つという前提があったから、$ \bm\nabla=\frac{\partial}{\partial\bm r}=\bm e^i\frac{\partial}{\partial r^i}が成立した 任意のtensorでこの関係が成り立つわけではない
well-definedな定義を探す
これが成り立ってほしい
$ \mathrm d\bm f(\bm r)=\mathrm d\bm r\cdot\frac{\partial\bm f(\bm r)}{\partial\bm r}
$ \mathrm d\bm f(\bm T)=\mathrm d\bm T:\frac{\partial\bm f(\bm T)}{\partial\bm T}
つまり、微分$ \mathrm d\bm fが、$ \mathrm d\bm rや$ \mathrm d\bm Tの線型結合で表示できればいい
とりあえず$ \frac{\partial\bullet}{\partial\bm T}:=\frac{\partial\bullet}{\partial T_{ij}}\bm e_i\bm e_jとする
この時成り立つ性質
$ \mathrm d\bm A=\frac{\partial\bm A}{\partial\bm T}:\mathrm d\bm T
各種tensor演算の微分
恒等変換
$ \frac{\partial\bm A}{\partial\bm A}={\cal\pmb I}
$ \because\mathrm d\bm A={\cal\pmb I}:\mathrm d\bm A
$ \frac{\partial\mathrm{tr}\bm A}{\partial\bm A}=\bm I
$ \because\mathrm d\mathrm{tr}\bm A=\mathrm{tr}(\mathrm d\bm A)=\bm I:\mathrm d\bm A
べき乗
$ \mathrm d(\bm A\cdot\bm A)=(\mathrm d\bm A)\cdot\bm A+\bm A\cdot\mathrm d\bm A=2{\cal\pmb S}:(\bm A\cdot\mathrm d\bm A)
$ \mathrm d(\bm A\cdot\bm A\cdot\bm A)=(\mathrm d\bm A)\cdot\bm A\cdot\bm A+\bm A\cdot\mathrm d\bm A\cdot\bm A+\bm A\cdot\bm A\cdot\mathrm d\bm A
$ \mathrm d\det\bm A=(\det\bm A){\bm A^\top}^{-1}:\mathrm d\bm A
$ \mathrm d\mathrm{tr}\bm A=\bm I:\mathrm d\bm A
$ \mathrm d\frac12\mathrm{tr}(\bm A^2)=\mathrm{tr}(\bm A\cdot\mathrm d\bm A)=\bm A^\top:\mathrm d\bm A
$ \mathrm d\frac13\mathrm{tr}(\bm A^3)=\mathrm{tr}(\bm A\cdot\bm A\cdot\mathrm d\bm A)=\left(\bm A^2\right)^\top:\mathrm d\bm A
第1不変量$ \mathrm dI_1^{\bm A}=\bm I:\mathrm d\bm A 第2不変量$ \mathrm dI_2^{\bm A}=\mathrm d\frac12\left(I_1^{\bm A}\right)^2-\mathrm d\frac12\mathrm{tr}(\bm A^2) $ =I_1^{\bm A}\bm I:\mathrm d\bm A-\bm A^\top:\mathrm d\bm A
$ =\bm A:(\bm I\bm I-\tilde{\cal\pmb I}):\mathrm d\bm A
第3不変量$ \mathrm dI_3^{\bm A}=-\frac13\left(\mathrm d\left(I_1^{\bm A}\right)^3-\mathrm d\mathrm{tr}(\bm A^3)\right)+\mathrm d\left(I_1^{\bm A}I_2^{\bm A}\right) $ =-\left(I_1^{\bm A}\right)^2\bm I:\mathrm d\bm A+\left(\bm A^2\right)^\top:\mathrm d\bm A+I_2^{\bm A}\bm I:\mathrm d\bm A+I_1^{\bm A}\bm A:(\bm I\bm I-\tilde{\cal\pmb I}):\mathrm d\bm A
$ =\left(-\left(I_1^{\bm A}\right)^2\bm I+\left(\bm A^2\right)^\top+I_2^{\bm A}\bm I+\left(I_1^{\bm A}\right)^2\bm I-I_1^{\bm A}\bm A^\top\right):\mathrm d\bm A
$ =\left(I_2^{\bm A}\bm I+(\bm A^\top-I_1^{\bm A}\bm I)\cdot\bm A^\top\right):\mathrm d\bm A
$ \mathrm dJ_1^{\bm A}=0
偏差第2不変量$ \mathrm dJ_2^{\bm A}=\mathrm dI_2^{\bm A}-\frac{\mathrm{tr}\bm I-1}{\mathrm{tr}\bm I}\mathrm d\frac12\left(I_1^{\bm A}\right)^2 $ =-\mathrm d\frac12\mathrm{tr}(\bm A^2)+\frac{1}{\mathrm{tr}\bm I}\mathrm d\frac12\left(I_1^{\bm A}\right)^2
$ =\frac{1}{\mathrm{tr}\bm I}I_1^{\bm A}\bm I:\mathrm d\bm A-\bm A^\top:\mathrm d\bm A
$ = -\left(\bm A-\frac{\mathrm{tr}\bm A}{\mathrm{tr}\bm I}\bm I\right)^\top:\mathrm d\bm A
$ = -\bm A^\top:{\cal\pmb D}:\mathrm d\bm A