Young率&Poisson比の物理的意味を調べる
物理的意味をtensorで把握する方法がすぐに思い浮かばない
$ K,Gとの関係式を$ {\cal\pmb C}= K\pmb I\pmb I+2G{\cal\pmb D}に代入して、天下り式に求めてみよう
$ {\cal\pmb C}= \frac13\frac{E}{1-2\nu}\pmb I\pmb I+\frac{E}{1+\nu}{\cal\pmb D}
うーん
$ {\cal\pmb C}^{-1}= \frac13\frac{1-2\nu}{E}\pmb I\pmb I+\frac{1+\nu}{E}{\cal\pmb D}
$ = \frac1E\left(\frac13\pmb I\pmb I+{\cal\pmb D}\right)+\frac\nu E\left({\cal\pmb D}-\frac23\pmb I\pmb I\right)
$ = \frac1E{\cal\pmb I}+\frac\nu E({\cal\pmb I}-\pmb I\pmb I)
へー。そーゆーことーtakker.icon
もし$ \nu=0なら$ {\cal\pmb C}=E{\cal\pmb I}になる
垂直ひずみの比をとる必要がある
成分毎にみる
$ \varepsilon_{00}=\frac1E\sigma_{00}+\frac\nu E(\sigma_{00}-(\sigma_{00}+\sigma_{11}+\sigma_{22}))
$ \varepsilon_{11}=\frac1E\sigma_{11}+\frac\nu E(\sigma_{11}-(\sigma_{00}+\sigma_{11}+\sigma_{22}))
これもだめそう
特定の力をかけた状態で考えないとだめそうだな
外力$ \sigma\pmb nで引張を与えた時の変形を調べる
$ |\pmb n|=1とした
$ \pmb nと直交する方向の拘束をなくす(=直交方向の応力0)ことで、直交方向のひずみが負になり、Poisson比がわかりやすくなるはず $ \pmb\varepsilon=\frac1E\sigma\pmb n\pmb n+\frac\nu E(\sigma\pmb n\pmb n-\sigma|\pmb n|^2\pmb I)=\frac\sigma E\pmb n\pmb n+\frac\nu E\sigma(\pmb n\pmb n-\pmb I)
$ \therefore \begin{dcases}\pmb\varepsilon:\pmb n\pmb n&=&\frac\sigma E\\\pmb\varepsilon:\pmb l\pmb l&=-&\frac\nu E\sigma\end{dcases}
$ \pmb n\bot\pmb l,|\pmb l|=1とした
$ \underline{\therefore\pmb\varepsilon:\pmb l\pmb l=-\nu\pmb\varepsilon:\pmb n\pmb n\quad}_\blacksquare
$ \pmb n方向に外力を与えて引っ張ると、$ \pmb nに垂直な任意の方向で圧縮が発生し、その引張と圧縮の比率がPoisson比となる $ \pmb n\pmb n:(\pmb n\pmb n-\pmb I)=0だから、このtensor同士が線型独立であることを示している
$ {\cal\pmb{C}}:=\frac{2G\nu}{1-2\nu}\pmb{I}\pmb{I}+2G{\cal\pmb{I}}
$ {\cal\pmb{I}}：4階の恒等tensor