RCE-2022S-6

目標

6. 曲げモーメントを受ける鉄筋コンクリート断面の応力の計算(3)

T型断面、複鉄筋断面の応力計算についての例題を解き、鉄筋コンクリート断面に生じる応力の計算法に習熟する。

内容

しけん

1~4、10を目に通し、授業で取り上げた例題をやる

今日は計算練習

複鉄筋矩形断面

片持ち梁のような場面では、上側も引張になるため、上にも鉄筋を配置する

一応、計算上は混乱を避けるため下側が引張になる曲げのみを扱う

練習のため、先週の図は使わず1から書き直すことにするtakker.icon

https://kakeru.app/84e2282c7313ed3546f135272315f10d https://i.kakeru.app/84e2282c7313ed3546f135272315f10d.svg

https://kakeru.app/a3fad6b27f91add6acc5c67ef97758f8 https://i.kakeru.app/a3fad6b27f91add6acc5c67ef97758f8.svg

$ \sigma_c'：コンクリートの圧縮縁応力

$ \sigma_s'：圧縮鉄筋の応力

$ \sigma_s：引張鋼材の応力

曲げmomentの釣り合いからは解けないのだろうか？takker.icon

複鉄筋矩形断面の例題

問題設定

$ M=137\mathrm{kN\cdot m}

曲げmomentだけ$ \mathrm{m}を使う

コンクリート構造工学で用いる単位

$ b=400\mathrm{mm}

$ d=600\mathrm{mm}、$ A_s=5\mathrm{D}29=3212\mathrm{{mm}^2}

$ d'=50\mathrm{mm}、$ A_s'=4\mathrm{D}22=1548\mathrm{{mm}^2}

鉄筋の種別表示

$ Dは異形鉄筋を表す

$ 22が直径(単位は$ \mathrm{mm})

4は4本入れたということ

$ n=7.4

これらの$ \sigma_c',\sigma_s',\sigma_sを求める

1. 中立軸位置$ xを求める

$ \frac12 bx^2+(x-d)nA_s+(x-d')nA_s'=0

$ \iff x^2+\frac2bn(A_s+A_s')x-\frac2bn(A_sd+A_s'd')=0

$ \iff x=198.1650227\cdots\mathrm{mm}

2. 換算断面2次moment$ I_eを求める

$ I_e=\frac13bx^3+(x-d)^2nA_s+(x-d')^2nA_s'

$ =5127030339\cdots\mathrm{{mm}^4}

3. 軸方向の垂直応力分布から各応力を求める

$ \sigma_c'=\frac{M}{I_e}x=5.29519\cdots\mathrm{N\cdot{mm}^{-2}}\simeq5.30\mathrm{N\cdot{mm}^{-2}}

$ \sigma_s'=n\frac{M}{I_e}(x-d')=29.29760311\cdots\mathrm{N\cdot{mm}^{-2}}\simeq29.3\mathrm{N\cdot{mm}^{-2}}

コンクリートの6倍の圧縮応力がかかる

$ \sigma_s=-n\frac{M}{I_e}(x-d)=79.4573609\cdots\mathrm{N\cdot{mm}^{-2}}\simeq79.5\mathrm{N\cdot{mm}^{-2}}

引張は圧縮の3倍弱くらい

検算

極端な値を求める

$ A_s'\to0

単鉄筋矩形断面と同じ式になるはず

$ \frac12 bx^2+(x-d)nA_s+0=0

$ I_e=\frac13bx^3+(x-d)^2nA_s+0

確かに同じ式になった

この場合、$ p:=\frac{A_s}{bd},k:=\frac{x}{d}で無次元化できる

$ k^2+2npk-2np=0

$ I_e=k^3+3(k-1)^2np=k^3+3npk^2-6npk+3np

$ x=kd\simeq 214.1\mathrm{mm}

複鉄筋矩形断面に比べて小さくなった

圧縮鉄筋がない分の曲げmomentを、作用点を深くしてmomentの腕を長くすることで補っている

RCE-2022S-6#634f455b1280f0000080e5dfから$ \frac{\mathrm{d}A_s'}{\mathrm{d}x}を求めると

$ \mathrm{d}A_s'=-\frac{A_s'}{x}\mathrm{d}x

となり、圧縮鉄筋量が少なくなるほど作用点が深くなる

$ A_s\to0

引張側に鉄筋を入れないとどうなる？

$ \frac12 bx^2+(x-d')nA_s'=0

$ I_e=\frac13bx^3+(x-d')^2nA_s'

$ x\in\Bbb{C}\setminus\Rになる？

$ b\to0

コンクリートがないとどうなる？

$ (A_s+A_s')x-(A_sd+A_s'd')=0

$ I_e=(x-d)^2nA_s+(x-d')^2nA_s'

単鉄筋T形断面

背景

コンクリートの引張応力は無視してしまうのなら、引張側のコンクリートは削っちゃってもいいじゃないか！

https://kakeru.app/316d2805efcb398565ec7f93d6b1411f https://i.kakeru.app/316d2805efcb398565ec7f93d6b1411f.svg

名称

横に長い部分をfrange、その厚みをflange厚と呼ぶ

縦に長い部分をweb (梁)と呼ぶ

中立軸位置$ xを求める

モデル化は単鉄筋矩形断面と全く同じ

https://kakeru.app/fd1544efa8254fbb98eda29ded8a5b33 https://i.kakeru.app/fd1544efa8254fbb98eda29ded8a5b33.svg

$ 0=\int_{\max\{0,x-t\}}^x yb\mathrm{d}y+(x-d)nA_s

$ =\frac12b(x^2-\max\{0,x-t\}^2)+(x-d)nA_s

$ = \frac12b(x^2\llbracket x<t\rrbracket+t(2x-t)\llbracket x\ge t\rrbracket)+(x-d)nA_s

$ = \frac12b\min\{x,t\}(2x-\min\{x,t\})+(x-d)nA_s

$ I_e=\int_{\max\{0,x-t\}}^x y^2b\mathrm{d}y+(x-d)^2nA_s

$ =\frac13b(x^3-\max\{0,x-t\}^3)+(x-d)^2nA_s

$ = \frac13b(x^3\llbracket x<t\rrbracket+(x^3-(x-t)^3)\llbracket x\ge t\rrbracket)+(x-d)^2nA_s

$ = \frac13b(x^3\llbracket x<t\rrbracket+(x-x+t)(x^2+x(x-t)+(x-t)^2)\llbracket x\ge t\rrbracket)+(x-d)^2nA_s

$ = \frac13b(x^3\llbracket x<t\rrbracket+t(3x^2-3xt+t^2)\llbracket x\ge t\rrbracket)+(x-d)^2nA_s

$ = \frac13b\min\{x,t\}(3x^2-3x\min\{x,t\}+\min\{x,t\}^2)+(x-d)^2nA_s

中立軸位置がflange内にあるかどうかで場合分けが発生する

単鉄筋T形断面の例題

$ M=100\mathrm{kN\cdot m}

$ b=1000\mathrm{mm}

$ t=100\mathrm{mm}

$ b_w=200\mathrm{mm}

$ d=400\mathrm{mm}

$ A_s=1940\mathrm{{mm}^2}

$ n=7.1

1. 中立軸位置を求める

$ x\simeq92.08\mathrm{mm}

✅@2022-10-19T09:00D90 RCE-2022S-6

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