Nyquist振動数

有限Fourier変換の文脈での説明

$ t=k\varDelta tで離散化した、任意のシグナル$ k\mapsto Xに離散Fourier逆変換をかました際に現れる最高次数の振動数のこと

$ C_n:={\cal F}(X)_nのとき、離散Fourier逆変換を使って$ X_k={\cal F}^{-1}(C)_k=\sum_{0\le n<N}C_ne^{2\pi i\frac{kn}{N}}と表せる

$ C_{N-n}={C_n}^*であることから、$ n=\frac12 Nのとき複素指数$ eの次数$ 2\pi i\frac{n}{N}が最大となる

よって、Nyquist振動数$ f_{max}は

$ f_{max}=\left.\frac{n}{T}\right|_{n=\frac12N}=\frac{N}{2T}=\frac1{2\varDelta t}

ここで、$ t=k\varDelta tと$ T=N\varDelta tを使った

となる。

これ以上大きい振動数は$ C_nで表せない。

ちなみに、$ f_s:=\frac1{\varDelta t}をサンプリング周波数と呼ぶ

ここから$ f_{max}=\frac12f_sという関係が現れる

制約

$ \varDelta f=\frac1T\varDelta n=\frac1T

$ \varDelta t=\frac TN

$ \therefore \varDelta f\varDelta t=\frac1N

もしくは$ Tf_s=N

Nyquist振動数を大きくしたいなら、解析周波数の増分$ \varDelta fを荒くして観測データのサンプリング時間間隔$ \varDelta tを小さくするしかない

解析周波数の間隔も細かくしたいなら、観測データ$ Nを増やさざるを得ない

アナログ信号の文脈の説明

$ f_n:=\frac12f_s