MaA-2025F-4.@2025-05-12T13:00D90

補正値の推定値$ \hat{\varDelta\bm x}は真値$ \varDelta\bm xと推定誤差 e の和で表される．

$ \hat{\bm x}=\bm x+\bm e(3.26)

ここで式(3.10)と式(3.20)より

$ \hat{\bm x}=(\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot{\bm\nabla\bm f}^\top)^{-1}\cdot\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot\bm u

$ \bm P:=\left(\bm R\cdot\bm R^\top\right)^{-1}：重み行列

$ \operatorname E(\bm\varepsilon\bm\varepsilon)=\bm R\cdot\bm R^\top

$ =(\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot{\bm\nabla\bm f}^\top)^{-1}\cdot\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot(\varDelta\bm x\cdot\bm\nabla\bm f+\bm\varepsilon)

$ =\varDelta\bm x+(\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot{\bm\nabla\bm f}^\top)^{-1}\cdot\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot\bm\varepsilon(3.27)

であることから，推定誤差は↓となる

$ \bm e=(\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot{\bm\nabla\bm f}^\top)^{-1}\cdot\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot\bm\varepsilon(3.28)

観測誤差は観測不能だが、推定誤差と観測誤差の関係を定量的に表すことができる

Bayes推定で誤差分布を求められる

推定誤差$ \bm eの分散共分散行列は、正規方程式の係数行列の逆行列に等しい

$ \operatorname E(\bm e\bm e)=\operatorname E(((\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot{\bm\nabla\bm f}^\top)^{-1}\cdot\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot\bm\varepsilon)((\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot{\bm\nabla\bm f}^\top)^{-1}\cdot\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot\bm\varepsilon))

$ = (\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot{\bm\nabla\bm f}^\top)^{-1}\cdot\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot\operatorname E(\bm\varepsilon\bm\varepsilon)\cdot\bm P\cdot{\bm\nabla\bm f}^\top\cdot{(\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot{\bm\nabla\bm f}^\top)^{-1}}^\top

$ = (\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot{\bm\nabla\bm f}^\top)^{-1}\cdot\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot{\bm\nabla\bm f}^\top\cdot{(\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot{\bm\nabla\bm f}^\top)^{-1}}^\top

$ \because\operatorname E(\bm\varepsilon\bm\varepsilon)=\bm R\cdot\bm R^\top=\bm P^{-1}

$ = {(\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot{\bm\nabla\bm f}^\top)^{-1}}^\top

$ = {(\bm\nabla\bm f\cdot\bm P^\top\cdot{\bm\nabla\bm f}^\top)^{-1}}

$ = {(\bm\nabla\bm f\cdot\bm P\cdot{\bm\nabla\bm f}^\top)^{-1}}

$ \because \bm P^\top={\operatorname E(\bm e\bm e)^{-1}}^\top=\operatorname E(\bm e\bm e)^{-1}=\bm P

線型回帰

$ \bm yと$ \bm xの関係が$ \bm y=\bm a\cdot\bm x+\bm bだとして、$ \bm a,\bm bを求める

得られたデータを$ \bm x_i,\bm y_iとし、これを関係式に入れたとき、その差が$ \bm\varepsilon_i=\bm y_i-\bm a\cdot\bm x_i-\bm bとなる

この誤差の2乗和が最小になるような$ \bm a,\bm bを求める

#2025-05-12 09:54:12