H2-2022S-5

目標

5. 管水路の流れ(2)

摩擦以外の損失について説明できる。

内容

摩擦をできるだけ少なくして、より多くの流量を流す

$ f:=-\frac{2d}{\rho U^2}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}s}

層流乱流に関わらず、このように定義される

$ v_s=\frac1{4\mu}\left(-\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}s}\right)(a^2-r^2)

$ \frac{\mathrm{d}h_l}{\mathrm{d}s}=\frac{f}{d}\frac{U^2}{2g}

損失水頭の性質

管路長に比例する

$ \mathrm{d}h_l\propto\mathrm{d}s

長ければ長いほど、壁面摩擦でどんどんエネルギが失われる

管径に反比例する

$ \mathrm{d}h_l\propto\frac1d

とても太い管なら流れやすい

壁面から中心まで距離があるので、中心部を流れる流体に摩擦の影響が及びにくい

逆に細いチューブはネバネバした流体を流しづらい

ほとんどの流体が壁面摩擦の影響を受けてしまう

$ f':=-\frac{2R}{\rho U^2}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}s}

$ R_e=\frac{\rho Ud}{\mu}

$ U=\frac1{\left(\frac12d\right)^2\pi}\int_{0\le r\le \frac12d\land0\le\theta\le2\pi} v_s r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}r

$ =-\frac1{4\mu\left(\frac12d\right)^2}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}s}\int_{r^2=0}^{r^2=\frac14d^2}\left(\left(\frac12d\right)^2-r^2\right)\mathrm{d}(r^2)

$ =-\frac1{\mu d^2}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}s}\left(\frac12d\right)^2\left(\left(\frac12d\right)^2-\frac12\left(\frac12d\right)^2\right)

$ =-\frac1{8\mu}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}s}\left(\frac12d\right)^2

より、

$ f=-\frac{2d}{\rho U^2}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}s}

$ = -\frac{\mu}{\rho Ud}\frac{2d^2}{\mu U}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}s}

$ = -\frac{1}{R_e}\frac{2d^2}{\mu U}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}s}

$ =\frac{1}{R_e}\frac{16d^2}{U}\frac{-1}{8\mu}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}s}

$ =\frac{1}{R_e}\frac{64}{U}\frac{-1}{8\mu}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}s}\left(\frac12d\right)^2

$ =\frac{64}{R_e}

$ \underline{\therefore f=\frac{64}{R_e}\quad}_\blacksquare

$ R_e\mapsto f

後で書く

$ \frac{ks}{d}\mapsto f

あとでかく

$ \left(R_e,\frac{k_s}{d}\right)\mapsto f

あとでかく

管路の形状が変わることで発生する