Fourier余弦係数
$ \forall T>0と可積分函数$ f: \rbrack-\frac12 T,\frac12T\lbrack\to\Complexにて、↓をFourier余弦係数と呼ぶ $ \mathcal{F}_{c,T}(f)_\bullet:\Z\ni n\mapsto\frac2T\int_{-\frac12 T}^{\frac12T}f(t)\cos\left(n\frac{2\pi}Tt\right)\mathrm dt\in\Complex
通常は$ a_nと表されることが多い
性質
$ fが偶函数のとき$ \mathcal F_T(f)_n=\frac12\mathcal F_{c,T}(f)_n $ \mathcal F_{c,T}(f'')_n=2\frac{(-1)^n}T\left(\Re f'\left(\frac12T-0\right)-\Re f'\left(\frac12T+0\right)\right)+2\frac{(-1)^{n+1}}Tn\frac{2\pi}T\left(\Im f\left(\frac12T-0\right)-\Im f\left(\frac12T+0\right)\right)-\left(\frac{2\pi}Tn\right)^2\mathcal F_{c,T}(f)_n
$ fが実函数なら$ \mathcal F_{c,T}(f'')_n=2\frac{(-1)^n}T\left(f'\left(\frac12T-0\right)-f'\left(\frac12T+0\right)\right)-\left(\frac{2\pi}Tn\right)^2\mathcal F_{c,T}(f)_n