EH1-2022F-4
円錐を底面に垂直な方向に切断するため、双曲線となる こんなの普通解かせるか？
仮にそうだとしても、解答の穴埋め数式とどうあがいても明らかに結果が矛盾する
06:52:48 今気づいたけど、極座標に変換すれば解けなくもないのか？
momentの腕$ xは$ r\cos\phiに書き換えられる
つまり$ V\times\overline{BB'}=\int_{0\le z\le h}\int_{0\le r'\le\frac{r}{h}(h-z)}\int_{0\le\phi\le2\pi} r'\cos\phi\mathrm r'{d}\phi\mathrm{d}r'\mathrm{d}z
これなら解けそう
立式があっているか不安だけど
傾き$ x\mathrm{d}\thetaをzの範囲に加えるの忘れてた
あれ？これだと積分範囲が循環参照にならないか？
だめじゃん
$ zを積分から外して、最初から計算済みの値として加えれば解決するか？
底面$ r'\mathrm{d}\phi\mathrm{d}rの微小柱の積分として立式する
$ \int_{0\le r'\le r}\int_{0\le\phi\le2\pi} x(x\mathrm{d}\theta+h-\frac{h}{r}r')r'\mathrm{d}\phi\mathrm{d}r'
ここで$ x=r'\cos\phiとした
微小柱の高さの立式
$ r'での深さが$ \frac{h}{r}(r-r')
円錐だから深さは中心からの距離で決まる
$ =:L(r')でカプセル化しても計算に支障はない
傾いた分の円錐の高さの差分が$ x\mathrm{d}\theta
よって微小柱の高さは$ x\mathrm{d}\theta+\frac{h}{r}(r-r')となる
展開する
$ =\int_{0\le r'\le r}\int_{0\le\phi\le2\pi} (r'x^2\mathrm{d}\theta+r'xh-{r'}^2x\frac{h}{r})\mathrm{d}\phi\mathrm{d}r'
$ =\int_{0\le r'\le r}\int_{0\le\phi\le2\pi} ({r'}^3(\cos\phi)^2\mathrm{d}\theta+{r'}^2\cos\phi h-{r'}^3\cos\phi\frac{h}{r})\mathrm{d}\phi\mathrm{d}r'
$ =\frac14r^4\mathrm{d}\theta\int_{0\le\phi\le2\pi} (\cos\phi)^2\mathrm{d}\phi+0-0
$ =\frac14\pi r^4\mathrm{d}\theta
hが消えちゃった……
傾き部分以外は対称だから、momentが打ち消しあって0になる
理屈は合うから、計算ミスではなさそうだ
これで解けるな
$ V(h'+a)\mathrm{d}\theta=\frac14\pi r^4\mathrm{d}\theta
$ \underline{\iff h'=\frac14\pi\frac{r^4}{V}-a\quad}_\blacksquare
ここで
$ h': 質量中心の高さ - metacenterの高さ
$ a: 傾く前の浮心の高さ - 質量中心の高さ
$ V: 流体中に沈んでいる部分の体積