Christoffel記号の添え字交換則

$ \Gamma_{ijk}=\Gamma_{jik}

$ {\Gamma_{ij}}^k={\Gamma_{ji}}^k

$ {\Gamma_i}^{jk}={{\Gamma^j}_i}^k

$ {{\Gamma_i}^j}_k={{\Gamma^j}_{ik}}

$ \Gamma^{ijk}=\Gamma^{jik}

$ {\Gamma_{ij}}^k=-{{\Gamma_i}^k}_j

$ {\Gamma^{ij}}_k=-{{\Gamma^i}_k}^j

$ {\Gamma_{ij}}^k=-{\Gamma^k}_{ij}

$ {\Gamma^{ij}}_k=-{\Gamma_k}^{ij}

導出

$ \pmb e_j\cdot\bar{\pmb e}_k=\delta_{jk}

$ \implies \frac{\partial\pmb e_j}{\partial\bar e_i}\cdot\bar{\pmb e}_k+\pmb e_j\cdot\frac{\partial\bar{\pmb e}_k}{\partial\bar e_i}=0

$ \iff {\Gamma_{ij}}^k+{{\Gamma_i}^k}_j=0

$ \iff{\Gamma_{ij}}^k=-{{\Gamma_i}^k}_j

1,2番目の添え字の対称性を用いてほかのパターンの交換則も出す

$ {\Gamma_{ij}}^k=-{{\Gamma_i}^k}_j=-{\Gamma^k}_{ij}

1番目の添え字は計算に関与しないので、上げ下げ自由

$ {{\Gamma^i}_j}^k=-{\Gamma^{ik}}_j=-{\Gamma^{ki}}_j