Cauchyの積分定理
任意の領域$ D\subseteq\Complexにて、$ \forall z\in Dで$ z\mapsto f(z)が正則函数なら、以下が成り立つ $ \oint_{\partial D}f(z)\mathrm dz=0
簡単な導出
$ \oint_{\partial D}f(z)\mathrm dz=\oint_{\partial D}(\Re f\mathrm d\Re z-\Im f\mathrm d\Im z)+i(\Re f\mathrm d\Im z+\Im f\mathrm d\Re z)
$ =\oint_{\partial D}\pmb f\cdot\mathrm d\pmb l+i\oint_{\partial D}\pmb g\cdot\mathrm d\pmb l
$ \pmb f:=\begin{pmatrix}\Re f\\-\Im f\end{pmatrix},\pmb g:=\begin{pmatrix}\Im f\\\Re f\end{pmatrix},\pmb l:=\begin{pmatrix}\Re z\\\Im z\end{pmatrix}とした
$ = \int_D\pmb\nabla\times\pmb f\cdot\mathrm d\pmb S+i\int_D\pmb\nabla\times\pmb g\cdot\mathrm d\pmb S
$ \underline{=0\quad}_\blacksquare
最後はCauchy-Riemannの方程式より$ \frac{\partial\Re f}{\partial\Re z}=\frac{\partial\Im f}{\partial\Im z}\land\frac{\partial\Re f}{\partial\Im z}=-\frac{\partial\Im f}{\partial\Re z}\iff \pmb\nabla\times\pmb f=\pmb\nabla\times\pmb g=\pmb 0を使った