Boussinesq解

自重のない半無限弾性地盤の地表面に単一鉛直荷重$ Pを加えたときの応力および変位解

Boussinesqが求めた？

応力解 (圧縮正、円筒座標$ (r,\theta,z)表示)

$ \sigma_{zz}=\frac{3Pz^3}{2\pi|\bm r|^5}

$ \sigma_{rr}=\frac{3Pz^3}{2\pi|\bm r|^5}+\frac{P}{2\pi|\bm r|^2}\left(-3\frac{z}{|\bm r|}+(1-2\nu)\frac{|\bm r|}{|\bm r|+z}\right)

$ \sigma_{\theta\theta}=\frac{P}{2\pi|\bm r|^2}\left(-(1-2\nu)\frac{z}{|\bm r|}+(1-2\nu)\frac{|\bm r|}{|\bm r|+z}\right)

$ \sigma_{zr}=\frac{3Prz^2}{2\pi|\bm r|^5}

おそらくBeltrami-Michellの適合条件式に境界条件$ \left.\bm\sigma\right|_{z=0}=P\bm e_z\delta(\bm r)を入れれば求まるはず

1955年の文献

解が導出された経緯も載っている？