Besselの不等式
任意の$ \mathbf K-計量線型空間$ \mathbf Vと$ \mathrm V上の高々可算無限個の正規直交系$ Dにて 1. $ \forall N\in\N\forall\psi_\bullet:\N_{\le N}\to D\forall\phi\in V:\sum_{1\le i\le N}|\Braket{\phi|\psi_i}|^2\le\lVert\phi\rVert^2
2. $ \forall\psi\in V:\sum_{\psi\in D}|\Braket{\phi|\psi_i}|^2\le\lVert\phi\rVert^2
証明
1.
$ \top
$ \implies\forall N\in\N\forall\psi_\bullet:\N_{\le n}\to D\forall\phi\in V:
$ 0\le\left\lVert\phi-\sum_{1\le i\le N}\Braket{\phi|\psi_i}\psi_i\right\rVert^2
$ =\lVert\phi\rVert^2-2\Re\Braket{\phi|\sum_{1\le i\le N}\Braket{\phi|\psi_i}\psi_i}+\left\lVert\sum_{1\le i\le N}\Braket{\phi|\psi_i}\psi_i\right\rVert^2
$ =\lVert\phi\rVert^2-2\sum_{1\le i\le N}\Re\Braket{\phi|\psi_i}^*\Braket{\phi|\psi_i}+\left\lVert\sum_{1\le i\le N}\Braket{\phi|\psi_i}\psi_i\right\rVert^2
$ =\lVert\phi\rVert^2-2\sum_{1\le i\le N}|\Braket{\phi|\psi_i}|^2+\left\lVert\sum_{1\le i\le N}\Braket{\phi|\psi_i}\psi_i\right\rVert^2
$ \le\lVert\phi\rVert^2-2\sum_{1\le i\le N}|\Braket{\phi|\psi_i}|^2+\sum_{1\le i\le N}\left\lVert\Braket{\phi|\psi_i}\psi_i\right\rVert^2
$ =\lVert\phi\rVert^2-2\sum_{1\le i\le N}|\Braket{\phi|\psi_i}|^2+\sum_{1\le i\le N}|\Braket{\phi|\psi_i}|^2\left\lVert\psi_i\right\rVert^2
$ =\lVert\phi\rVert^2-2\sum_{1\le i\le N}|\Braket{\phi|\psi_i}|^2+\sum_{1\le i\le N}|\Braket{\phi|\psi_i}|^2
$ \because\lVert\psi_i\rVert=1
$ =\lVert\phi\rVert^2-\sum_{1\le i\le N}|\Braket{\phi|\psi_i}|^2
$ \underline{\implies\forall N\in\N\forall\psi_\bullet:\N_{\le n}\to D\forall\phi\in V:\sum_{1\le i\le N}|\Braket{\phi|\psi_i}|^2\le\lVert\phi\rVert^2\quad}_\blacksquare
正規であることしか使ってない？takker.icon
直交系でなくてもいいのか？
2.
$ |D|<\inftyなら、$ N=|D|を1.に代入すれば2.になる
$ \underline{\forall \phi\in V:\sum_{\phi\in D}|\Braket{\phi|\psi_i}|^2\le\lVert\phi\rVert^2\quad}_\blacksquare