AMME-2026S-12.@2026-07-02T08:30/10:15
review
積分系のクラス
e.g. sincの講義積分$ \int_0^\infty\operatorname{sinc}x\mathrm dx $ \int_1^0f(x)\mathrm dx:=-\int_{[0,1]}f(x)\mathrm dx
向きが定義できるときに拡張された積分
向きの情報は外微分形式$ \mathrm dxに含まれる 単に通常の積分と同じことが成り立つということだけなので、結果だけ示す
$ \forall A\in\mu^\gets(\Set{0}):\int_Af\mathrm d\mu=0
$ f=g\quad\mu\text{ - a.e.}\implies\int_Xf\mathrm d\mu=\int_Xg\mathrm d\mu
$ f\le g\quad\mu\text{ - a.e.}\implies\int_Xf\mathrm d\mu\le\int_Xg\mathrm d\mu
$ \int_X(af+bg)\mathrm d\mu=a\int_Xf\mathrm d\mu+b\int_Xg\mathrm d\mu
$ \left|\int_Xf\mathrm d\mu\right|\le\int_X|f|\mathrm d\mu=\lVert f\rVert_{L^1(X)}
$ L^1(X)を「固いL」と呼んでいた
$ \lVert f\rVert_{L^1(X)}=0\implies f=0\quad\mu\text{ - a.e}
$ \forall\mathcal M'\in\bot(\mathcal M)\forall A,B\in\mathcal M':\int_{A\sqcup B}f\mathrm d\mu=\int_Af\mathrm d\mu+\int_Bf\mathrm d\mu
$ \forall f\in\mathcal L^1(X)\forall\alpha>0:\alpha\mu(\{|f|\ge\alpha\})\le\int_X|f|\mathrm d\mu
が、全部この式なのでワンパターンである
指示函数で言い換えると
$ \forall f\in\mathcal L^1(X)\forall\alpha>0:\alpha\int_X\llbracket|f(x)|\ge\alpha\rrbracket\mathrm d\mu\le\frac1\alpha\int_X|f|\mathrm d\mu
収束定理
$ \int_Xと$ \sum_{n\in\N}を無条件に交換できて便利
$ \forall f_n:\N\to M^+(X):\int_X\sum_{n\in\N}f_n\mathrm d\mu=\sum_{n\in\N}\int_Xf_n\mathrm d\mu
$ \forall f_n:\N\to M^{+}(X):\liminf_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu\le\int_X\liminf_{n\to\infty}f_n\mathrm d\mu
$ \forall f_n:\N\to M(X)\forall f\in M(X)\forall g\in\mathcal L^1(X)にて、
$ \begin{dcases}f_n\to f\quad\mu\text{ - a.e.}\\g\ge0\quad\mu\text{ - a.e.}\\|f_n|\le g\quad\mu\text{ - a.e.}\end{dcases}\implies\begin{dcases}f\in\mathcal L^1(X)\\\lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu=\int_Xf\mathrm d\mu\end{dcases}
$ f_nは符号付きで問題ない
proof
応用
$ \forall f_n:\N\to M(X)\forall f\in M(X)にて、
$ \begin{dcases}f_n\to f\quad\mu\text{ - a.e.}\\\exist M>0:|f_n|\le M\quad\mu\text{ - a.e.}\\\mu(X)<\infty\end{dcases}\implies\begin{dcases}f\in\mathcal L^1(X)\\\lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu=\int_Xf\mathrm d\mu\end{dcases}
$ \forall f_n:\N\to\mathcal L^1(X)\forall g\in L^1(X):
$ \begin{dcases}g\ge0\quad\mu\text{ - a.e.}\\\sum_{n\in\N}|f_n|\le g\quad\mu\text{ - a.e.}\end{dcases}\implies\int_X\sum_{n\in\N}f_n\mathrm d\mu=\sum_{n\in\N}\int_Xf_n\mathrm d\mu
積分下の連続性
来週変数変換