恒等tensorの成分表示は任意の正規直交基底で不変
2024-04-25 以下は正規直交基底の範囲で考えていたときに書いた計算メモ
任意の基底では、$ \bm I=\sum_i\bar\bm e_i\bm e_iのように反変基底と共変基底のdyadの和で表される
証明
$ \bm xに$ \bm e_0,\bm e_1,\cdots,\bm e_{|A|}を全部代入して連立すれば求まる
$ \bm Ixを計算するときに、異なる基底同士の内積が0になって消えるのがポイント
消えないと$ [\bm I]^\mathcal{SS}_{ij}=\llbracket i=j\rrbracket が成立しない
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これは逆も成り立つ
$ \forall\bm I;\left(\forall\bm x;\left(\bm x=\bm I\cdot\bm x\right) \iff\forall\mathcal{S};\left([\bm I]^\mathcal{SS}_{ij}=\llbracket i=j\rrbracket\right)\right)