全静水圧と作用点の導出メモ

長くなってきた

あとで切り出す

やりたいこと

共通部分の切り出し

$ \mathrm{d}\pmb{S}の導出

拘束条件

直交行列による変換

鉛直平面

単一流体

https://kakeru.app/1f6dd89d6d61584a21bf25f45596fce0 https://i.kakeru.app/1f6dd89d6d61584a21bf25f45596fce0.svg

全静水圧$ P

積分：$ P=\int_Sp(z)\mathrm{d}S=\int_0^h\rho gz\cdot B\mathrm{d}z=\frac12\rho gBh^2

幾何中心$ z_C=\frac12hと鉛直平面の面積$ S_A=Bhを使うと、$ P=\rho g\int_Sz\mathrm{d}S=\rho gz_CS_A=\frac12\rho gBh^2ともなる

幾何学求積：

静水圧分布の面積より、

$ P=\frac12\rho gBh^2

全静水圧の作用点$ z_B

積分：

$ z_BP=\int_Szp(z)\mathrm{d}S=\int_0^hz\cdot\rho gz\cdot B\mathrm{d}z=\frac13\rho gBh^3

$ \iff z_B=\frac23h

積分途中で変数を消去すると$ z_B=\frac{\int_0^hz^2\mathrm{d}z}{\int_0^hz\mathrm{d}z}=\frac23hとなる。これは三角形の幾何中心に相当する

2流体

https://kakeru.app/49de95d12645d0f50f7bf0591c334a60 https://i.kakeru.app/49de95d12645d0f50f7bf0591c334a60.svg

静水圧分布

$ p:z\mapsto\begin{dcases}\rho_0gz\quad&\text{if}\ z<h_0\\\rho_0gh_0+\rho_1g(z-h_0)\quad&\text{otherwise}\end{dcases}

$ p(h_0)=\rho_0gz

$ p(h_0+h_1)=p(h_0)+\rho_1gh_1

https://kakeru.app/3007503fdcafa08941bfdb88cbb64b86 https://i.kakeru.app/3007503fdcafa08941bfdb88cbb64b86.svg

全静水圧$ P

積分で

$ P=\int_0^{h_0+h_1}p(z)B\mathrm{d}z=\int_0^{h_0}\rho_0gzB\mathrm{d}z+\int_{h_0}^{h_0+h_1}(\rho_0gh_0+\rho_1g(z-h_0))B\mathrm{d}z

$ =\frac12\rho_0gB{h_0}^2+\int_0^{h_1}(\rho_0gh_0+\rho_1gz)B\mathrm{d}z

第二項は、台形の面積を四角形と三角形とに分けて計算しているのと同義である

https://kakeru.app/d7fb8993f3d83465b1ed161b5ffbc28d https://i.kakeru.app/d7fb8993f3d83465b1ed161b5ffbc28d.svg

$ =\frac12\rho_0gB{h_0}^2+\rho_0gBh_0h_1+\frac12\rho_1gB{h_1}^2

幾何中心と面積を使う

$ \color{lightblue}{▲}の幾何中心$ z_{C0}=\frac12h_0

$ \color{green}{台形}の幾何中心$ z_{C1}=

台形の幾何中心

図形の面積で

$ P=\underbrace{\frac12\rho_0g{h_0}^2}_{三角形の面積}B+\underbrace{\frac12(\rho_0gh_0+\rho_0gh_0+\rho_1gh_1)h_1}_{台形の面積}B

$ =\frac12\rho_0gB{h_0}^2+\frac12(2\rho_0h_0+\rho_1h_1)gBh_1

全静水圧の作用点$ z_B

積分で

$ z_BP=\int_0^{h_0+h_1}zp(z)B\mathrm{d}z=\int_0^{h_0}z\cdot\rho_0gzB\mathrm{d}z+\int_{h_0}^{h_0+h_1}z\cdot(\rho_0gh_0+\rho_1g(z-h_0))B\mathrm{d}z

$ =\frac13\rho_0gB{h_0}^3+\int_0^{h_1}(z+h_0)(\rho_0gh_0+\rho_1gz)B\mathrm{d}z

$ =\frac13\rho_0gB{h_0}^3+\rho_0gB{h_0}^2h_1+\frac12(\rho_0+\rho_1)gh_0B{h_1}^2+\frac13\rho_1gB{h_1}^3

$ \because(z+h_0)(\rho_0gh_0+\rho_1gz)=\rho_1gz^2+(\rho_0+\rho_1)gh_0z+\rho_0g{h_0}^2

$ \therefore z_B=\frac{\frac13\rho_0gB{h_0}^3+\rho_0gB{h_0}^2h_1+\frac12(\rho_0+\rho_1)gh_0B{h_1}^2+\frac13\rho_1gB{h_1}^3}{\frac12\rho_0gB{h_0}^2+\frac12(2\rho_0h_0+\rho_1h_1)gBh_1}

$ =\frac{\frac13\rho_0{h_0}^3+\rho_0{h_0}^2h_1+\frac12(\rho_0+\rho_1)h_0{h_1}^2+\frac13\rho_1{h_1}^3}{\frac12\rho_0{h_0}^2+\frac12(2\rho_0h_0+\rho_1h_1)h_1}

これ以上簡単にはならないか？

むりそう……

右辺は各流体での全静水圧と作用点の積の和にも分解できる✅@2022-04-21 EH1-2022F-2 演習問題feedback記入が、計算負荷はほとんど変わらない

検算

$ \rho_0=\rho_1で単一流体の全静水圧の作用点と一致する

$ z_B=\frac{\frac13{h_0}^3+{h_0}^2h_1+h_0{h_1}^2+\frac13{h_1}^3}{\frac12{h_0}^2+\frac12(2h_0+h_1)h_1}

$ =\frac{\frac13(h_0+h_1)^3}{\frac12(h_0+h_1)^2}

$ =\frac23(h_0+h_1)✅

台形の幾何中心$ z_Cと断面2次モーメント$ Iと面積$ S_Aを使ってみる

$ \int_Lz(\rho_0gh_0+\rho_1g(z-h_0))\mathrm{d}S=\rho_0gh_0z_CS_A+\rho_1gI-\rho_1gh_0z_CS_A

$ =(\rho_0-\rho_1)gh_0z_CS_A+\rho_1gI

平行軸の定理

底

https://kakeru.app/13eb9d40a6656c380d5ccf3fd06ef369 https://i.kakeru.app/13eb9d40a6656c380d5ccf3fd06ef369.svg

高さで可変の密度$ z\mapsto\rho(z)とする

水平方向しか問題にならないので、ここまで一般化しても支障はないはず

全静水圧$ P

$ P=\int_{x=0}^{x=l}\int_{z=0}^{z=l}\rho(z)g\mathrm{d}zB\mathrm{d}x

$ p:z\mapsto\int_{z'=0}^{z'=z}\rho(z)g\mathrm{d}z'とすると、

$ \underline{=p(h)Bl\quad}_\blacksquare

全静水圧の作用点$ x_B

$ x_BP=\int_{x=0}^{x=l}x\int_{z=0}^{z=l}\rho(z)g\mathrm{d}zB\mathrm{d}x

$ =\frac12lp(h)Bl

$ \therefore x_B=\frac12l

$ x 方向に$ pが不変なので、結局のところ図形の幾何中心に作用するとすぐわかる

閉曲面で考えると、Archimedesの原理になる

傾斜平面

単一流体

https://kakeru.app/525fdb8ddb983a8c821c342c44b44bd7 https://i.kakeru.app/525fdb8ddb983a8c821c342c44b44bd7.svg

傾斜平面に働く全静水圧$ \pmb{P}

$ \pmb{P}=\int_S\rho g z\mathrm{d}\pmb{S}

ここで、微小面素は次のように求まる

$ \mathrm{d}\pmb{S}=B\pmb{e}_y\times\mathrm{d}\pmb{l}

https://kakeru.app/660b2d96912cd46923fceca4105ac2ed https://i.kakeru.app/660b2d96912cd46923fceca4105ac2ed.svg

よって、

$ \pmb{P}=\int_S\rho g z(B\pmb{e}_y\times\mathrm{d}\pmb{l})

$ =\rho gB\int_Sz\pmb{e}_y\times(\pmb{e}_z\mathrm{d}z+\pmb{e}_x\mathrm{d}x)

$ =\rho gB\left(\int_Sz\pmb{e}_x\mathrm{d}z-\int_Sz\pmb{e}_z\mathrm{d}x\right)

$ \therefore

$ P_z=\int_S\underbrace{-\rho gz}_{静水圧}\cdot\underbrace{B\mathrm{d}x\pmb{e}_z}_{微小面素vector}

$ P_x=\int_S\underbrace{\rho gz}_{静水圧}\cdot\underbrace{B\mathrm{d}z\pmb{e}_x}_{微小面素vector}

$ \mathrm{d}\pmb{S}計算の別解

https://kakeru.app/9a516e2d8ef6848d9a7cc7736efbee7e https://i.kakeru.app/9a516e2d8ef6848d9a7cc7736efbee7e.svg

$ \mathrm{d}\pmb{S}=[\mathrm{d}\pmb{S}]^\mathsf{E}_x\pmb{e}_x+[\mathrm{d}\pmb{S}]^\mathsf{E}_z\pmb{e}_z

$ =\mathrm{d}z\pmb{e}_x-\mathrm{d}x\pmb{e}_z

具体的に計算する

$ \mathrm{d}x=a\mathrm{d}zとすると、

$ \pmb{P}=\rho gB\int_{z=0}^{z=\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z}z(\pmb{e}_x-a\pmb{e}_z)\mathrm{d}z

$ =\frac12\rho gB(\pmb{e}_x-a\pmb{e}_z)(\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z)^2

$ \underline{=\frac12\rho gB{l_z}^2(\pmb{e}_x-a\pmb{e}_z)\quad}_\blacksquare

$ \pmb{l}=l_x\pmb{e}_x+l_z\pmb{e}_zと置いた

全静水圧と作用点の導出メモ#6301c3cb1280f00000bb8d6dの議論を援用すると、向きを$ \pmb{e}_sで表せる

$ =\frac12\rho gB{l_z}^2R_{11}\pmb{e}_s

座標変換・拘束条件の導出だけ切り出すかtakker.icon

z成分は鉛直平面に働く全静水圧、x成分は傾斜平面の下に潜り込んでいる流体の浮力となる

x成分とz成分の関係

ちょうど$ aP_x+P_z=0という関係が成り立つ

もし$ \pmb{e}_z軸から反時計周りに測った傾斜角が$ \thetaのとき、$ \mathrm{d}_x=\tan\theta\mathrm{d}zだから$ P_z=-\tan\theta P_xとなる

作用点$ \pmb{b}

原点まわりの力のmomentの釣り合いの立式及び計算

$ \pmb{b}\times\pmb{P}=\int_S\pmb{r}\times\rho g z\mathrm{d}\pmb{S}=\int_{\pmb{r}=\pmb{0}}^{\pmb{r}=\pmb{l}}\pmb{r}\times\rho g zB(\pmb{e}_y\times\mathrm{d}\pmb{r})

$ =\int_{z=0}^{z=l_z}\rho g zB(z\mathrm{d}z+x\mathrm{d}x)\pmb{e}_y

$ \because\pmb{r}\times(\pmb{e}_y\times\mathrm{d}\pmb{r})=(z\pmb{e}_z+x\pmb{e}_x)\times(\mathrm{d}z\pmb{e}_x-\mathrm{d}x\pmb{e}_z)=(z\mathrm{d}z+x\mathrm{d}x)\pmb{e}_z\times\pmb{e}_x=(z\mathrm{d}z+x\mathrm{d}x)\pmb{e}_y

$ =\rho g B(1+a^2)\pmb{e}_y\int_{z=0}^{z=l_z}z^2\mathrm{d}z

前項の結果を代入して$ \pmb{P}を消去する

$ \pmb{b}\times\pmb{P}=([\pmb{b}]^\mathsf{E}_z\pmb{e}_z+[\pmb{b}]^\mathsf{E}_x\pmb{e}_x)\times\frac12\rho gB{l_z}^2(\pmb{e}_x-a\pmb{e}_z)=\frac12\rho gB{l_z}^2\left(a[\pmb{b}]^\mathsf{E}_x+[\pmb{b}]^\mathsf{E}_z\right) だから

$ {l_z}^2\left(a[\pmb{b}]^\mathsf{E}_x+[\pmb{b}]^\mathsf{E}_z\right)=\frac23(1+a^2){l_z}^3

$ \iff{l_z}^2\left(a[\pmb{b}]^\mathsf{E}_x+[\pmb{b}]^\mathsf{E}_z\right)=\frac23(1+a^2){l_z}^3

$ \iff a[\pmb{b}]^\mathsf{E}_x+[\pmb{b}]^\mathsf{E}_z=\frac23(1+a^2)l_z

これ以上計算できなくなってしまった……

$ \pmb{b}//\pmb{l}ならまだ展開のしようがあるが、それが成り立つかどうかが不明瞭

いや成り立つと仮定していいのか？

$ \pmb{b}//\pmb{l} を仮定すると、$ [\pmb{b}]^\mathsf{E}_x=a[\pmb{b}]^\mathsf{E}_z より

$ \implies (a^2+1)[\pmb{b}]^\mathsf{E}_z=\frac23(1+a^2)l_z

$ \iff \underline{[\pmb{b}]^\mathsf{E}_z=\frac23l_z\quad}_\blacksquare

もっとシンプルに計算したい

$ \mathsf{E}=(\pmb{e}_z,\pmb{e}_x)を$ \mathsf{F}=(\pmb{e}_l,\pmb{e}_s)に変換して求めれば、シンプルになりそう

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\mat{\pmb{e}_l&\pmb{e}_s}=\frac1{\sqrt{1+a^2}}\mat{\pmb{e}_z&\pmb{e}_x}\mat{1&-a\\a&1}

$ \mathrm{d}\pmb{l}=\pmb{e}_z\mathrm{d}z+\pmb{e}_x\mathrm{d}xと$ x=azより$ \pmb{e}_l=\frac1{\sqrt{1+a^2}}(\pmb{e}_z+a\pmb{e}_x)

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}{[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}}^{-1}=\frac1{\sqrt{1+a^2}}\mat{1&-a\\a&1}

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\mat{l\\s}=\sqrt{1+a^2}\mat{1&a\\-a&1}\mat{z\\x}=\sqrt{1+a^2}\mat{z\\0}

傾斜平面上に拘束される場合は、$ s=0となる

変換する

$ \pmb{P}=\frac12\rho gB{l_z}^2\sqrt{1+a^2}\pmb{e}_s

$ \pmb{b}\times\pmb{P}=\int_S\pmb{r}\times\rho g z\mathrm{d}\pmb{S}

左辺

$ =\int_{z=0}^{z=l_z}l\pmb{e}_l\times\rho g zB\mathrm{d}l\pmb{e}_s

$ \because\mathrm{d}\pmb{S}=\mathrm{d}l\pmb{e}_s

$ =\rho g zB\int_{z=0}^{z=l_z}zl\mathrm{d}l\pmb{e}_y

$ \because \pmb{e}_l\times\pmb{e}_s=\pmb{e}_y

右ねじをイメージすれば求まる

$ =\rho g zB(1+a^2)\int_{z=0}^{z=l_z}z^2\mathrm{d}z\pmb{e}_y

$ \because l=\sqrt{1+a^2}z

$ =\frac13\rho g zB(1+a^2){l_z}^3\pmb{e}_y

右辺

$ =\frac12\rho gB{l_z}^2\sqrt{1+a^2}(\pmb{b}\times\pmb{e}_s)

$ =\frac12\rho gB{l_z}^2\sqrt{1+a^2}[\pmb{b}]^\mathsf{F}_l\pmb{e}_y

$ \pmb{b}//\pmb{e}_lとした

よって

$ \pmb{b}\times\pmb{P}=\int_S\pmb{r}\times\rho g z\mathrm{d}\pmb{S}

$ \iff\frac12\sqrt{1+a^2}[\pmb{b}]^\mathsf{F}_l=\frac13(1+a^2)l_z

$ \underline{\iff[\pmb{b}]_l^\mathsf{F}=\frac23\sqrt{1+a^2}l_z\quad}_\blacksquare

座標変換式で戻せば$ [\pmb{b}]^\mathsf{E}_z=\frac23l_z となる

2流体

問題設定

https://kakeru.app/7154b0006974f96e749373b3eff8760b https://i.kakeru.app/7154b0006974f96e749373b3eff8760b.svg

x,y,z座標に沿った基底を$ \sf E、s,y,lに沿った基底を$ \sf Fとしておく

y方向の茶色の板の長さは$ Bとする

茶色の板の表面領域を$ Sとする

流体のある側からない側への方向を正の向きとする

普通の場合は物体の内側から外側を正とするが、余計な-が出ないようにするためにここでは逆に定義しているtakker.icon

座標変換

ある直交行列$ Rを使って

$ \begin{pmatrix}l\\s\end{pmatrix}=R\begin{pmatrix}z\\x\end{pmatrix}①

と表現される

拘束条件

$ \forall(s\pmb{e}_s+l\pmb{e}_l)\in S;s=0

これを座標変換式に代入すれば

$ 0=R_{10}z+R_{11}x

$ \iff x=-\frac{R_{10}}{R_{11}}z=:\alpha z②

と求まる

ちなみに

$ \begin{pmatrix}\pmb{e}_l\\\pmb{e}_s\end{pmatrix}=R\begin{pmatrix}\pmb{e}_z\\\pmb{e}_x\end{pmatrix}

$ \det R=1

なので、$ \alphaで$ \pmb{e}_sを表せる

$ \pmb{e}_s=R_{10}\pmb{e}_z+R_{11}\pmb{e}_x

$ =R_{11}(\pmb{e}_x-\alpha\pmb{e}_z)④

静水圧分布をもとめる

全静水圧と作用点の導出メモ#628dcb801280f00000ed8dcdと同じ

$ \therefore p:z\mapsto\rho_0g\min\{z,z_m\}+\rho_1g\max\{z-z_m,0\}③

形が全く違うが、言っていることは同じ

$ \min\{z,z_m\}+\max\{z-z_m,0\}=zに気づけば、場合分けを1項に減らせる

$ p:z\mapsto \rho_0gz+(\rho_1-\rho_0)g\max\{z-z_m,0\}

全静水圧と作用点の導出メモ#6301cc2e1280f00000bb8d78の伏線でもある

茶色の板にかかる全静水圧$ \pmb{P}を求める

$ \pmb{P}=\int_Sp(z)\mathrm{d}\pmb{S}

解法1：(z,x)で求める

$ \pmb{P}=\int_S\rho(z)B\mathrm{d}\pmb{S}

$ = \int_S\rho(z)B(\pmb{e}_x\mathrm{d}z+(-\pmb{e}_z)\mathrm{d}x)

$ \mathrm{d}\pmb{S}の展開は後述

$ = \int_{z=0}^{z=\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z}\rho(z)B(\pmb{e}_x-\alpha\pmb{e}_z)\mathrm{d}z

②でパラメタを$ zに統一した

$ = \int_{z=0}^{z=z_m}\rho_0gBz(\pmb{e}_x-\alpha\pmb{e}_z)\mathrm{d}z+\int_{z=z_m}^{z=\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z}gB(\rho_0z_m+\rho_1(z-z_m))(\pmb{e}_x-\alpha\pmb{e}_z)\mathrm{d}z

③で展開

$ = gB(\pmb{e}_x-\alpha\pmb{e}_z)\left(\int_{z=0}^{z=z_m}\rho_0z\mathrm{d}z+\int_{z=z_m}^{z=\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z}(\rho_0z_m+\rho_1(z-z_m))\mathrm{d}z\right)

$ = gBR_{11}\pmb{e}_s\left(\int_{z=0}^{z=z_m}\rho_0z\mathrm{d}z+\int_{z=z_m}^{z=\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z}(\rho_0z_m+\rho_1(z-z_m))\mathrm{d}z\right)

④で少し短くした

$ = gBR_{11}\pmb{e}_s\left(\frac12\rho_0{z_m}^2+\int_{z=0}^{z=\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z-z_m}(\rho_0z_m+\rho_1z)\mathrm{d}z\right)

$ = gBR_{11}\pmb{e}_s\left(\frac12\rho_0z_m(z_m+2(\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z-z_m))+\frac12\rho_1(\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z-z_m)^2\right)

$ = \frac12gBR_{11}\pmb{e}_s\left(\rho_0z_m(2\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z-z_m)+\rho_1(\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z-z_m)^2\right)

$ = \frac12gBR_{11}\pmb{e}_s\left(\rho_0((\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z)^2-(\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z)^2+2\pmb{l}\cdot\pmb{e}_zz_m-{z_m}^2)+\rho_1(\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z-z_m)^2\right)

$ = \frac12gBR_{11}\pmb{e}_s\left(\rho_0((\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z)^2-(\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z-z_m)^2)+\rho_1(\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z-z_m)^2\right)

$ = \frac12gBR_{11}\pmb{e}_s\left(\rho_0(\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z)^2+(\rho_1-\rho_0)(\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z-z_m)^2\right)

$ \underline{=\frac12\left(\rho_0(\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z)^2+(\rho_1-\rho_0)(\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z-z_m)^2\right)gBR_{11}\pmb{e}_s\quad}_\blacksquare

検算

$ \rho_1=\rho_0\lor\pmb{l}\cdot\pmb{e}_z=z_m で全静水圧と作用点の導出メモ#6301cd191280f00000bb8d7cと一致する

前者：単一流体

後者：密度$ \rho_1の流体の幅が0

$ \mathrm{d}\pmb{S}の導出

$ \sf E系で計算すると、下図より$ \mathrm{d}\pmb{S}=B(\pmb{e}_x\mathrm{d}z+(-\pmb{e}_z)\mathrm{d}x)となる

https://kakeru.app/9a516e2d8ef6848d9a7cc7736efbee7e https://i.kakeru.app/9a516e2d8ef6848d9a7cc7736efbee7e.svg

$ \mathrm{d}\pmb{l}=\pmb{e}_x\mathrm{d}x+\pmb{e}_z\mathrm{d}zより、座標に依存しない$ \mathrm{d}\pmb{S}の式は以下のようになる

$ \mathrm{d}\pmb{S}=B\pmb{e}_y\times\mathrm{d}\pmb{l}

これは$ \sf Fでみた$ \mathrm{d}\pmb{S}の式$ \mathrm{d}\pmb{S}=B\pmb{e}_s|\mathrm{d}\pmb{l}|とも一致する

$ \mathrm{d}\pmb{S}=B\pmb{e}_y\times\mathrm{d}\pmb{l}=B\pmb{e}_y\times\pmb{e}_s|\mathrm{d}\pmb{l}|=B\pmb{e}_s|\mathrm{d}\pmb{l}|

円形ゲート

単一流体

https://kakeru.app/cab4ee8b5e98c748516a0d4ddd17b037 https://i.kakeru.app/cab4ee8b5e98c748516a0d4ddd17b037.svg

円形ゲートに働く全静水圧$ \pmb{P}

$ \pmb{P}=\int_S\rho gzB\mathrm{d}\pmb{S}

導出方針

座標変換して求める

面積vectorを反転したvector$ \mathrm{d}\pmb{S}は、$ \mathrm{d}\pmb{S}=r(-\pmb{e}_n)\mathrm{d}\thetaとなる

https://kakeru.app/c7afcb887945cba0f7757df8c89e0207 https://i.kakeru.app/c7afcb887945cba0f7757df8c89e0207.svg

円形ゲート上の拘束条件式は$ x=-r\sin\theta\land z=r(1-\cos\theta)\land 2r-l\le z\le 2r

以上を代入して求める

$ \pmb{P}=\int_{z=2r-l}^{z=2r}\rho gzBr(-\pmb{e}_n)\mathrm{d}\theta

$ =\int_{z=2r-l}^{z=2r}\rho gBr^2(1-\cos\theta)(-\pmb{e}_n)\mathrm{d}\theta

$ =\int_{z=2r-l}^{\theta=\pi}\rho gBr^2(1-\cos\theta)(-\pmb{e}_n)\mathrm{d}\theta

$ =\int_{\cos\theta=\frac{l}{r}-1}^{\theta=\pi}\rho gBr^2(1-\cos\theta)(-\pmb{e}_n)\mathrm{d}\theta

$ =\rho gBr^2\int_{\cos\theta=\frac{l}{r}-1}^{\theta=\pi}(1-\cos\theta)(-\pmb{e}_n)\mathrm{d}\theta

$ =\rho gBr^2\int_{\cos\theta=\frac{l}{r}-1}^{\theta=\pi}\mathrm{d}\left(\sin\theta-\frac12\theta-\frac14\sin2\theta\right)\pmb{e}_z-\rho gBr^2\int_{c=\frac{l}{r}-1}^{c=-1}\mathrm{d}\left(c-\frac12c^2\right)\pmb{e}_x

https://kakeru.app/5cd5958e01d9ed94dfdd38b5844515d5 https://i.kakeru.app/5cd5958e01d9ed94dfdd38b5844515d5.svg

$ =\rho gBr^2\int_{\cos\theta=\frac{l}{r}-1}^{\theta=\pi}\mathrm{d}\left(\sin\theta-\frac12\theta-\frac14\sin2\theta\right)\pmb{e}_z+\frac12\rho gBl(4r-l)\pmb{e}_x

https://kakeru.app/16ab0a294242157a20ceebd72b3767d1 https://i.kakeru.app/16ab0a294242157a20ceebd72b3767d1.svg

$ =\frac14\rho gB\left((l-5r)\sqrt{2rl-l^2}-2r^2\cos^{-1}\left(1-\frac{l}{r}\right)\right)\pmb{e}_z+\frac12\rho gBl(4r-l)\pmb{e}_x

https://kakeru.app/0918d6705ba37dea8002c90f3aa57a3f https://i.kakeru.app/0918d6705ba37dea8002c90f3aa57a3f.svg

check:

$ l=2rのとき

$ \pmb{P}=-\frac12\rho gB\cos^{-1}(-1)r^2\pmb{e}_z+\frac12\rho gB(2r)(4r-2r)\pmb{e}_x

$ = -\rho\left(\frac12\pi r^2\right)gB\pmb{e}_z+\frac12\rho gB(2r)^2\pmb{e}_x

第1項が半円部分の浮力と一致する

$ l=rのとき

$ \pmb{P}=\frac14\rho gB\left(-4r^2-2r^2\cos^{-1}0\right)\pmb{e}_z+\frac12\rho gBr(3r)\pmb{e}_x

$ =-\frac12\rho gBr^2\left(2+\cos^{-1}0\right)\pmb{e}_z+\frac32\rho gBr^2\pmb{e}_x

$ =-\frac12\rho gBr^2\left(2+\frac12\pi\right)\pmb{e}_z+\frac32\rho gBr^2\pmb{e}_x

正方形部分の寄与がどこから出てきたのかがわからない

静水圧分布ミスってた$ p(z)=\rho g(z-(2r-l))だった！！！！！！

$ z=2r-lでguage圧0

計算し直さなきゃ……

修正版

$ \pmb{P}=\int_S\rho g(z-(2r-l))B\mathrm{d}\pmb{S}

$ =\int_{z=0}^{z=l}\rho gzBr(-\pmb{e}_n)\mathrm{d}\theta

$ z軸の原点をguage圧0の地点にずらした

原点移動による条件変化は以下の通り

$ z=r(1-\cos\theta)-(2r-l)=r-r\cos\theta-2r+l=l-r(1+\cos\theta)

$ 0\le z\le l

$ \cos\theta=\frac{l-r-z}{r}

check:

$ z=l(水底)で$ \theta=\pi

$ z=0\land l=r(水面かつ水面が円形ゲートの中心にあるとき)で$ \theta=\frac12\pi

$ z=0\land l=2r(冠水状態のときの水面)で$ \theta=0

$ =\int_{z=0}^{z=l}\rho gBr(l-r(1+\cos\theta))(-\pmb{e}_n)\mathrm{d}\theta

$ =\int_{\cos\theta=\frac{l}{r}-1}^{\theta=\pi}\rho gBr^2\left(\left(\frac{l}{r}-1\right)-\cos\theta\right)(-\pmb{e}_n)\mathrm{d}\theta

$ =\rho gBr^2\left(-C\sqrt{1-C^2}\pmb{e}_z+\frac1{\xcancel{4}2}C\sqrt{1-C^2}\pmb{e}_z-\frac12\cos^{-1}(-C)\pmb{e}_z+\frac12\left(\frac{l}{r}\right)^2\pmb{e}_x\right)

https://kakeru.app/5b6aef1cb2b9bc4c4f28c949c97846c9 https://i.kakeru.app/5b6aef1cb2b9bc4c4f28c949c97846c9.svg

$ =\rho gB\left(-\xcancel{\frac34}\frac12(l-r)\sqrt{r^2-(l-r)^2}\pmb{e}_z-\frac12r^2\cos^{-1}(-C)\pmb{e}_z+\frac12l^2\pmb{e}_x\right)

$ \underline{=-\rho gB\left(\xcancel{\frac34}\frac12(l-r)\sqrt{2rl-l^2}+\frac12r^2\cos^{-1}\left(1-\frac{l}{r}\right)\right)\pmb{e}_z+\frac12\rho gBl^2\pmb{e}_x\quad}_\blacksquare

check

✅x方向成分が、円形ゲートの射影面積$ Blと円形ゲートの幾何中心$ \frac12lとの積になっている

✅冠水状態($ l=2r)のとき

$ \pmb{P}\cdot\pmb{e}_z=-\rho gB\left(\xcancel{\frac34}\frac12r\sqrt{0}+\frac12r^2\cos^{-1}\left(1-2\right)\right)=-\frac12\rho gB r^2\cos^{-1}(-1)=-\rho gB\cdot\frac12\pi r^2

円形ゲートに働く浮力と一致する

半円なので、体積が$ \frac12\pi r^2Bになる

✅半分まで浸かっている($ l=r)とき

$ \pmb{P}\cdot\pmb{e}_z=-\rho gB\left(0+\frac12r^2\cos^{-1}(0)\right)=-\frac12\rho gB r^2\frac12\pi=-\rho gB\cdot\frac14\pi r^2

円形ゲートの半分に働く浮力と一致する

✅(修正完了)3/4浸かっている($ l=\frac32r)とき

$ \pmb{P}\cdot\pmb{e}_z=-\rho gB\left(\xcancel{\frac34}\frac12\frac12\sqrt{3-\frac94}r^2+\frac12r^2\cos^{-1}\left(-\frac12\right)\right)

$ =-\rho gB\left(\xcancel{\frac38}\frac14\sqrt{\frac34}r^2+\frac12r^2\frac23\pi\right)

$ =-\rho gB\left(\xcancel\frac3{16}\frac18\sqrt3r^2+\frac13\pi r^2\right)

$ =-\xcancel\frac32\rho gB\cdot\frac18\sqrt3r^2-\rho gB\cdot\frac13\pi r^2

2項目はあってる

半径$ \frac23\piの扇形の面積

下図オレンジ色の範囲

https://kakeru.app/db422c3ecc4a8df4c1e013162d370acd https://i.kakeru.app/db422c3ecc4a8df4c1e013162d370acd.svg

1項目がおかしい

面積が下図緑色の範囲に等しくなるはずだが、なぜか$ \frac32倍されている

https://kakeru.app/db422c3ecc4a8df4c1e013162d370acd https://i.kakeru.app/db422c3ecc4a8df4c1e013162d370acd.svg

三角函数の倍角公式の微分計算をミスってた

https://kakeru.app/a62e00db85e8a23d221618fb3ef6bb04 https://i.kakeru.app/a62e00db85e8a23d221618fb3ef6bb04.svg

2022-08-24 10:34:00 修正done

式の考察

$ \pmb{P}=-\rho gB\left(\underbrace{\frac12(l-r)\sqrt{2rl-l^2}}_{三角形の面積}+\underbrace{\frac12r^2\cos^{-1}\left(1-\frac{l}{r}\right)}_{扇形の面積}\right)\pmb{e}_z+\frac12\rho gBl^2\pmb{e}_x

三角形の面積の符号は、$ r>lか$ r<lで変化する

https://kakeru.app/30f03a2effab7119a9f1bf25dd83f81e https://i.kakeru.app/30f03a2effab7119a9f1bf25dd83f81e.svg

任意の物体の特定の面に働く全静水圧のz成分は、その面と水面、水面に直交する面で囲まれた領域の体積の浮力に相当する？

$ \pmb{P}\cdot\pmb{e}_z=\int_S\rho gz\mathrm{d}\pmb{S}=\rho g……あっ！

そうか！z軸に並行な任意の面$ S_\botに働く全静水圧のz成分は0だから、その面を追加して閉曲面を作ればいいんだ！

$ \int_{S_\bot}\rho gz\mathrm{d}\pmb{S}\cdot\pmb{e}_z=0

水面上の任意の部分領域$ S_hの全静水圧が$ \pmb{0}であることも使う

$ \because \int_{S_h}\rho g\cdot0\mathrm{d}\pmb{S}=\pmb{0}

$ \pmb{P}\cdot\pmb{e}_z=\int_{S_1}\rho gz\mathrm{d}\pmb{S}\cdot\pmb{e}_z

$ =\int_{S_1\cup S_2\cup S_3\cup S_4}\rho gz\mathrm{d}\pmb{S}\cdot\pmb{e}_z-\int_{S_2}\rho gz\mathrm{d}\pmb{S}\cdot\pmb{e}_z

$ \because\int_{S_3}\rho gz\mathrm{d}\pmb{S}\cdot\pmb{e}_z=0\land\int_{S_2}\rho gz\mathrm{d}\pmb{S}=\int_{S_2}\rho g0\mathrm{d}\pmb{S}=\pmb{0}

$ S_3は鉛直面、$ S_2は水面、$ S_4は底面

$ S_4のこと考えてなかったな。これはちょっとまずい

$ \int_{S_2}\rho gz\mathrm{d}\pmb{S}=-\rho g z_bS_2\pmb{e}_z($ z_bは底面の深さ)として、あとから引けばいいだろう

https://kakeru.app/1453a6030cd83032f5ce58f7855b28ca https://i.kakeru.app/1453a6030cd83032f5ce58f7855b28ca.svg

$ =\int_{\partial V}\rho gz\mathrm{d}\pmb{S}\cdot\pmb{e}_z+\rho g z_bS_2

閉曲面を作れたので、スカラー発散定理に持ち込める

$ =\rho g\int_V\pmb{\nabla}z\mathrm{d}V\cdot\pmb{e}_z+\rho g z_bS_2

$ =\rho g\int_V\pmb{e}_z\mathrm{d}V\cdot\pmb{e}_z+\rho g z_bS_2

$ =\rho g\int_V\mathrm{d}V+\rho g z_bS_2

$ =\rho g(V+z_bS_4)

$ \underline{\therefore\pmb{P}\cdot\pmb{e}_z=\rho g(V+z_bS_4)\quad}_\blacksquare

だいたいArchimedesの原理に帰着した

底面に働く全静水圧まで含めたい場合は、第2項を削る

z,x成分に分けて求める

x成分

円形ゲートをx軸方向に射影したときの面積で計算すればいい

$ \therefore [\pmb{P}]^\mathsf{E}_x=\frac12\rho gBl(4r-l)

check: 冠水時($ l=2r)$ \frac12\rho gBl(4r-l)=\frac12\rho gB(2r)^2

https://kakeru.app/200cdaf9a5f2b0b675e3ba7a704da87f https://i.kakeru.app/200cdaf9a5f2b0b675e3ba7a704da87f.svg

z成分

円形ゲートの下部に潜り込んでいる流体の重力と上部に載荷している流体の重力の差に等しい

$ \therefore [\pmb{P}]^\mathsf{E}_z=\rho gB\left(lr-\int_0^{l}\sqrt{r^2-(z-r)^2}\mathrm{d}z\right)

$ =\rho gB\left(lr-r^2\int_{-1}^{\frac{l}{r}-1}\sqrt{1-z^2}\mathrm{d}z\right)

$ =\rho gB\left(lr-r^2\int_{\sin\theta=-1}^{\sin\theta=\frac{l}{r}-1}\frac12(1+\cos2\theta)\mathrm{d}\theta\right)

$ =\rho gB\left(lr-\frac12r^2\int_{\sin\theta=-1}^{\sin\theta=\frac{l}{r}-1}\mathrm{d}\left(\theta+\frac12\sin2\theta\right)\right)

$ =\rho gB\left(lr-\frac12r^2\left(\sin^{-1}\left(\frac{l}{r}-1\right)+\frac12\pi\right)-\frac14r^2\left(\frac{l}{r}-1\right)\sqrt{1-\left(\frac{l}{r}-1\right)^2}\right)

#全静水圧 #全静水圧の作用点

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#2022-06-07 08:01:54

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