2024.6.11 行列ノルム【numpy】

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定義と性質

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行列のノルムはベクトルのノルムを使って定義される。

$ ||A|| = \max_{\mathbf{x}\neq 0} \frac{||A\mathbf{x}||}{||\mathbf{x}||}

$ ||\alpha A|| = \alpha ||A||

$ ||A+B|| \leq ||A|| + ||B||

$ ||AB|| \leq ||A||\cdot ||B||

code:norm_matrix.py

import numpy as np

import numpy.linalg as npal

x = np.array(data, dtype=float)

print('# 元の行列')

print(x)

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誘導ノルム（induced norm, 作用素ノルム:operator norm）

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$ ||A||_p = \max_{\bm{x}\neq \bm{0}} \frac{||A\bm{x}||_p}{||\bm{x}||_p} = \max_{||\bm{x}||_p =1} ||A\bm{x}||_p

１ノルム

$ ||A||_1 = \max_{}\sum_{i=1}^{m} |a_{ij}|

code:(続き).py

y1 = npal.norm(x, ord=1) # numpyによる

z1 = np.abs(x).sum(axis=0).max() # 定義式による

print('# 1ノルム： ', y1, z1)

$ ||A||_2 = \max_{\mathbf{x}\neq 0} \frac{||A\mathbf{x}||_2}{||\mathbf{x}||_2} = \sqrt{\max_{\mathbf{x}\neq 0} \frac{\mathbf{x}^\top A^\top A \mathbf{x}}{\mathbf{x}^\top \mathbf{x}}}

$ ||A||_2 = \sigma_{\max}(A) =\sqrt{\lambda_{\mathrm{max}}(A^*A)}

code:(続き).py

y2 = npal.norm(x, ord=2) # numpyによる

print('# 2ノルム：', y2, z2)

$ ||A||_\infty

code:(続き).py

yinf = npal.norm(x, ord=np.inf) # numpyによる

zinf = np.max(np.sum(np.abs(x), axis=1)) # 定義式による

print('# infノルム:', yinf, zinf)

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成分ごとのノルム

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行列を構成する要素を１列に並べて得られたベクトルのL2ノルムのこと。

行列の各成分を自乗した値の和の平方根としても得られる。

$ ||A||_F = \sqrt{\sum_j \sum_i a_{ij}^2}

code:(続き).py

yfro = npal.norm(x, ord='fro') # numpyによる

zfro = np.sqrt((np.power(x, 2)).sum()) # 定義式による

print('# フロベニウスノルム(ord:デフォルト):', yfro, zfro)

最大値ノルム

行列の成分のうちの絶対値が最大の値としても得られる。

$ ||A||_{\max} = \max_{i,j}(|a_{ij}|)

code:(続き).py

# ymax = npal.norm(x, ord=None)

zmax = np.max(np.abs(x))

print('# 最大値ノルム：', zmax)

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トレースノルム、核型ノルム(nuclear norm)

$ ||A||_{\mathrm{trace}}= \sqrt{\mathrm{tr}(A^*A)} = \sum_{i=1}^{\min (m, n)}\sigma_i

行列を構成するサブベクトルごとにL2ノルム（ベクトル）を計算した後にその総和をとったもの。

$ ||A||_{1, 2} = \sum ||{\bm a}_j||_2

$ A = \left[ {\bm a}_1, {\bm a}_2, \cdots , {\bm a}_n \right]

TIPS

行列ノルムはスカラやベクトルに対しては適用できない。例えはフロベニウスノルムは行列ノルムであるので、２次元のarray-like以外の次元の値にはエラーを返す。

code:norm_mat2.py

import numpy as np

s = np.array(1) # 0次元

print(np.linalg.norm(s, ord='fro'))

print(np.linalg.norm(v, ord='fro'))

print(np.linalg.norm(t, ord='fro'))