一意性

一意性

一意性（いちいせい、英語: uniqueness）とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性質である。

ある対象が一意性を満たすかどうかを証明する方法は、

始めに目的の条件を持つ対象が存在することを証明し、

次にそのような対象がもう一つあり（例: 𝑎 と 𝑏 ）、それらが互いに等しいこと（すなわち 𝑎 = 𝑏 ）を示すことで得られる。

述語（性質） P を満たす議論領域の対象 x がただ一つ存在するという命題を ∃!x P(x) と書く。

$ \exist!xP(x)

これは述語論理の、連言 ∧ 、含意 → 、存在記号 ∃ 、全称記号 ∀ 、を用いて書かれる、

$ \displaystyle \exists x\,[P(x)\land \forall y\,[P(y)\rightarrow x=y]]

という命題を指す。同値な別の表現（あるいは定義）としては、存在性と一意性を分離した、

$ \displaystyle \exists x\,P(x)\land \forall y\forall z\,[[P(y)\land P(z)\rightarrow y=z]

や、短さに重きをおいた、

$ \displaystyle \exists x\,\forall y\,[P(y)\leftrightarrow x=y]

などがある。