交換子 (commutator)
2つの手順 $ X,Yとそれぞれの逆手順 $ X',Y' について次の形
$ Z = XYX'Y'
という形の手順 $ Z を交換子(コミュテータ)という. ブラケットを用いた次の表記が一般的.
$ [X,Y] := XYX'Y'
交換子の例
セクシームーブ $ RUR'U' = [R,U]
スレッジハンマー $ R'FRF = [R',F]
Niklas $ RU'L'U R'U'LU = [R,U'L'U]
交換子の理論
操作 $ X \in \mathcal{G} で動く cubie と動かないものがある. するものを $ \overline{X}としよう. これは 「$ X の領域」を表す. これは cubie の集合で,
$ \overline{X} = \{ c \mid X(c) \ne c \}
で定義される.
動く cubie はその領域の中で循環するだけなので, 逆に辿っても同じで $ \overline{X'} = \overline{X}.
さて交換子 $ Z = [X,Y] について考える.
もし $ X と $ Y の領域に重なりがない($ \overline{X} \cap \overline{Y} = \emptyset)なら, $ X と $ Y は互いに影響がないので可換になって,
$ Z = [X,Y] = XYX'Y' = YXX'Y' = \epsilon
というわけで回す意味のない操作になる.
なので重なりがある場合だけを考える.
そこで $ H = \overline{X} \cap \overline{Y} とする.
最も簡単(それでいて有用)なケースとして $ H が単集合((向きを無視して)唯一つの cubie だけ持つ)場合を考える.
Niklas はこの例になっている.
$ Z = [R, U'L'U]
$ R の領域は R 面にあるエッジとコーナーの cubie すべて(図の黄色箇所)
https://scrapbox.io/files/6342bca87334c1001d934ccb.png
$ U'L'U の領域は少し難しいが次のような感じ
https://scrapbox.io/files/6342bd0a56a7e3002020fb82.png
領域の重なりは cubie 一個だけで,
$ H = \{ urb \}
(向きは無視してる)
この重なりを $ X=R 及び $ Y=U'L'U で戻した領域は
$ X'(H) := \{X'(c) \mid c \in H\} = \{(f,r,u)\}
$ Y'(H) := \{Y'(c)\mid c \in H\} = \{(l,u,b)\}
実は次の定理がなりたつ.
定理
交換子 $ Z=[X,Y] を回すと, $ H, X'(H), Y'(H) の三箇所が交換される.
このとき, cubie $ c \in H は $ Y'(H) に, $ c \in Y'(H) は $ X'(H) に, そして $ c \in X'(H) は $ H に移る.
特に今は $ H が単集合(というわけでもちろん $ X'(H), Y'(H) も)なので3箇所というのが本当に3つの cubie に関する交換になってる.