様相選言特性 - Internet Explorer 2.0

様相選言特性

次の性質が成り立つ時，正規様相論理$ \bf M\Lambdaは様相選言特性を持つという．

$ \vdash_\mathbf{M\Lambda} \Box A \lor \Box Bならば$ \vdash_\mathbf{M\Lambda} Aまたは$ \vdash_\mathbf{M\Lambda} B

次のことが示される．

中間命題論理$ \bf I\LambdaのModal Companion$ \bf M\Lambda = \tau\mathbf{I\Lambda}が公理$ \bf 4を持ち（すなわち$ \bf K4より強く），様相選言特性を持つなら，$ \bf I\Lambdaは選言特性を持つ．

proof

$ \vdash_\mathbf{I\Lambda} A \lor Bとし，Gödel変換$ \cdot^Gとする．

Modal Companionであるから$ \vdash_\mathbf{M\Lambda} (A \lor B)^Gであり，

$ \vdash_\mathbf{M\Lambda} A^G \lor B^G：Gödel変換

$ \vdash_\mathbf{M\Lambda} \Box A^G \lor \Box B^G：

Gödel-McKinsey-Tarskiの定理#65fd276313a1580000a6c762の補題：$ \vdash_\mathbf{K4} A^G \to \Box A^Gより．

remark勘違いしていたがこれは様相論理の推論から導かれるものではない．

$ \vdash_\mathbf{M\Lambda} A^Gまたは$ \vdash_\mathbf{M\Lambda} B^G：様相選言特性

$ \vdash_\mathbf{I\Lambda} Aまたは$ \vdash_\mathbf{I\Lambda} B：Modal Companion

よって良い．

逆も成り立つ．

中間命題論理$ \bf I\Lambdaが選言特性を持つなら，いずれのModal Companion$ \bf M\Lambda = \tau\mathbf{I\Lambda}も様相選言特性を持つ．

Memo

証明を見た感じrootedなフレームに対して完全な論理では一考の価値がある．（必ずしも全てで成り立つわけではないはず）

$ \bf K4でも成り立つらしい．

ただし私は↓のデネセシテーションの系としてしか知らない．

すなわち直接に選言特性を導く証明は知らない．

木モデルに対しての完全性が成り立つからちょっと考えれば出てきそうな気はする．

Memo