様相論理と述語論理の対応
正規様相論理の公理図式$ \mathsf{T} \equiv \Box\Phi \to \Phiの適当な代入例が真である,すなわち$ \mathcal{M},w \models \mathsf{T}\lbrack \Phi \mapsto \varphi \rbrackのとき, $ \iff$ \mathcal{M} \coloneqq \lang W,R,V \rangの到達可能性$ Rは対称律を満たす. ところで対称律は2項述語$ Rを備えた言語$ \mathscr{L}_\mathsf{F1}上の1階述語論理において $ \forall_{x,y}\lbrack xRy \to yRx \rbrackと記述される.
以上の議論より
様相論理の公理図式$ \mathsf{T}は,1階述語論理$ \mathscr{L}_\mathsf{F1}の論理式$ \forall_{x,y}\lbrack xRy \leftrightarrow yRx \rbrackと対応している,と言える.
その他$ \sf B,4,5なども,各々が規定するフレーム(到達可能性)についての性質は1階述語論理の適当な論理式と対応する.
SnO2WMaN.iconこの点においては公理図式と論理式が対応していると書くと据わりが悪いので,論理式(公理)と一様代入則を用いたほうがいいかも知れない. どの様相論理の論理式が,1階述語論理の論理式と対応するのか? 参考文献