微分方程式のメモ
積の微分法
$ (fg)' = f'g + fg'
注意
面倒なので，以下$ cは積分定数とする．
定義: 微分方程式
微分方程式，Differental Equation (DE)
変数$ t，関数$ x \coloneqq x(t)，導関数$ \frac{dx}{dt},\frac{d^2x}{dt^2},\dots,\frac{d^nx}{dt^n}による
$ F\left( t,x,\frac{dx}{dt},\frac{d^2x}{dt^2},\dots,\frac{d^nx}{dt^n} \right) = 0を$ n階微分方程式という．
微分方程式の解$ x = x(t)を導出することを微分方程式を解くという．
正規微分方程式/正規形
一階微分方程式$ F\left(t,x,\frac{dx}{dt}\right) = 0を導関数$ \frac{dx}{dt}について解いた↓の微分方程式を正規微分方程式という．
$ \frac{dx}{dt} = f(t,x)
例: Malthusの人口モデル
時刻$ tでの総人口$ x \coloneqq x(t)とする．
時間区間$ \Delta tにおける人口増加$ \Delta xの割合$ \frac{\Delta x}{\Delta t}が$ xに比例するとする．
このとき次が立式される．$ aはパラメータ．
$ \frac{dx}{dt} = ax，あるいは，$ \frac{dx}{dt} - ax = 0
これをMalthusの人口モデルという．
解く．
1. $ \frac{d}{dt}\left(e^{-at} x\right)
$ = \frac{d}{dt} e^{-at}x + e^{-ax}\frac{d}{dt}x（積の微分法）
$ = -ae^{-at}x + \frac{dx}{dt}e^{-ax}
$ = e^{-at}\left( \frac{dx}{dt} - ax \right)
2. Malthusの人口モデルの両辺に$ e^{-at}を掛けると$ e^{-at}\left( \frac{dx}{dt} - ax \right)となる，よって，$ \frac{d}{dt}(e^{-at}x) = 0
3. $ tで積分すると$ e^{-at}x = c
4. $ x = ce^{at}
$ x = ce^{at}はMalthusの人口モデルの一般解である．
初期値問題
$ t = 0の人口$ x_0 \coloneqq x(0)とする．
一般解に$ t = 0を代入すると$ c = x_0となる．
すなわち，$ x(t) = x_0 e^{at}となる．
定義: 一般解
1階微分方程式で任意定数を1つ含む解は一般解という．
一般に，$ H(t,x,c) = 0で表される．可能なら$ x = h(t,c)の形に帰着する．
定義: 特解
一般解の任意定数に具体的な値を代入した解は特解と呼ぶ．
定義: 1階線型微分方程式
線形な1階微分方程式，すなわち↓は1階線型微分方程式という．
$ \frac{dx}{dt} + p(t)x = q(t)
あるいは，正規形の$ f(t,x)が$ f(t,x) \coloneqq -p(t) x + q(t)の場合である．
定理: 1階線型微分方程式の一般解
$ \frac{dx}{dt} + p(t)x = q(t)の一般解は↓として表される．$ cは任意定数．
$ x = e^{-\int p(t) dt} \left( \int e^{\int p(t) dt} q(t) dt + c \right)
証明
0. $ e^{-\int p(t) dt}を積分因子という．
1. $ \frac{d}{dt} \left( e^{\int p(t) dt} x \right)
$ = e^{\int p(t) dt} p(t) x + e^{\int p(t) dt} \frac{dx}{dt}（積の微分法）
$ = e^{\int p(t) dt} \left( p(t)x + \frac{dx}{dt} \right)（整理）
2. $ \frac{dx}{dt} + p(t)x = q(t)の両辺に積分因子を掛ける．
$ e^{\int p(t) dt} \left( p(t)x + \frac{dx}{dt} \right) = e^{\int p(t) dt} q(t)
3. $ \frac{d}{dt} \left( e^{\int p(t) dt} x \right) = e^{\int p(t) dt} q(t)
1と2より
4. 3の両辺を$ tで積分する．
$ e^{\int p(t) dt} x = \int e^{\int p(t) dt} q(t) dt + c
5. $ xについて整理．
$ x = e^{-\int p(t) dt} \left( \int e^{\int p(t) dt} q(t) dt + c \right)
注意: 1階線型微分方程式の一般解の積分因子の選び方
好きなものを取っていいが定石はこういったものがある
$ p(t) = 1なら$ e^t
$ p(t) = tなら$ e^{\frac{1}{2}t^2}
例
$ \frac{dx}{dt} + tx = 3tの一般解を求める
今，$ p(t) = tで$ q(t) = 3t．
導出1
積分因子を$ e^{\frac{1}{2}t^2}とする．
与式の両辺に積分因子を掛ける．
左辺$ \frac{d}{dt}\left( e^{\frac{1}{2}t^2} x \right) + e^{\frac{1}{2}t^2} tx = e^{\frac{1}{2}t^2} \left( \frac{dx}{dt} + tx \right)
右辺$ 3te^{\frac{1}{2}t^2}
$ e^{\frac{1}{2}t^2}\left( \frac{dx}{dt} + tx \right) = 3e^{\frac{1}{2}t^2}t
$ tで積分する．
$ e^{\frac{1}{2}t^2} x = 3 e^{\frac{1}{2} t^2} + c
$ xについて整理
$ x = 3 + c e^{-\frac{1}{2}t^2}
導出2
そのまま定理に突っ込む．
$ x = e^{-\frac{1}{2}t^2} \left( \int e^{\frac{1}{2}t^2} q(t) dt+ c \right)
$ 3 \int e^{\frac{1}{2}t^2} t dt = 3 e^{\frac{1}{2}t^2} + c
補足
$ \int e^{\frac{1}{2}t^2} t dtの解放
$ u \coloneqq \frac{1}{2}t^2とすると$ \frac{du}{dt} = t，$ du = t dt
よって$ \int e^{\frac{1}{2}t^2} t dt = \int e^u du = e^u + c = e^{\frac{1}{2}t^2} + c