1階線型微分方程式の一般解
定理
1階線型微分方程式$ \frac{dx}{dt} + p(t)x = q(t)の一般解は↓として表される．$ cは任意定数．
$ x = e^{-\int p(t) dt} \left( \int e^{\int p(t) dt} q(t) dt + c \right)
証明
0. $ e^{-\int p(t) dt}を積分因子という．
1. $ \frac{d}{dt} \left( e^{\int p(t) dt} x \right)
$ = e^{\int p(t) dt} p(t) x + e^{\int p(t) dt} \frac{dx}{dt}（積の微分法）
$ = e^{\int p(t) dt} \left( p(t)x + \frac{dx}{dt} \right)（整理）
2. $ \frac{dx}{dt} + p(t)x = q(t)の両辺に積分因子を掛ける．
$ e^{\int p(t) dt} \left( p(t)x + \frac{dx}{dt} \right) = e^{\int p(t) dt} q(t)
3. $ \frac{d}{dt} \left( e^{\int p(t) dt} x \right) = e^{\int p(t) dt} q(t)
1と2より
4. 3の両辺を$ tで積分する．
$ e^{\int p(t) dt} x = \int e^{\int p(t) dt} q(t) dt + c
5. $ xについて整理．
$ x = e^{-\int p(t) dt} \left( \int e^{\int p(t) dt} q(t) dt + c \right)
補足
積分因子$ e^{-\int p(t) dt}について，$ \frac{d}{dt} e^{-\int p(t) dt} = e^{-\int p(t) dt} p(t)．
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