多変数関数の極値
前提
$ n変数$ C^2級関数$ f(x_1,\dots,x_n)
以下$ f(\vec{x})とする．
$ f_{x_ix_j} \coloneqq \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial}{\partial x_j} fとする．
$ fの$ \vec{a}でのHesse行列$ \mathbf{H}\lbrack f\rbrack(\vec{a})を以下のように定まる． $ \mathbf{H}\lbrack f\rbrack(\vec{a}) \coloneqq \begin{bmatrix} f_{x_1x_1}(\vec{a}) & \cdots & f_{x_1x_n}(\vec{a}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{x_n x_n}(\vec{a}) & \cdots & f_{x_n x_n}(\vec{a}) \end{bmatrix}
$ n次正方行列$ A \coloneqq \{a_{ij}\}の$ k番目（$ 1 \leq k \leq n）の首座小行列$ \mathrm{CM}_k(A)を次のように定義する． $ \mathrm{CM}_k ( A ) \coloneqq \{a_{ij}\} \quad (1 \leq i,j \leq k)
すなわち，$ A \coloneqq \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} & \dots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nk} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}だとして$ \mathrm{CM}_k(A) \coloneqq \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \end{bmatrix}
なお首座小行列は$ ith corner minor matrix of Aまたは$ ith leading principal minor of A．わかりやすいので前者を採用する．
$ n次対称行列$ Aが正定値行列であるとき，次の3つのいずれかを満たす． 1. 任意のゼロベクトルではない$ n次元縦ベクトル$ \vec{x}に対し，$ \vec{x}^\top A \vec{x}
3. $ 1,\dots,n番目の首座小行列の行列式$ \det \left|\mathrm{CM}_1(A) \right|,\dots,\det\left|\mathrm{CM}_n(A)\right|が全て正．
判定には3を使うのが良い．
$ fが$ \vec{a}で極大値$ \iff$ f_{x_1}(\vec{a})=0,\dots,f_{x_n}(\vec{a})=0かつHesse行列$ \mathbf{H}\lbrack f\rbrack(\vec{a})が正定値行列 $ fが$ \vec{a}で極小値$ \iff$ f_{x_1}(\vec{a})=0,\dots,f_{x_n}(\vec{a})=0かつHesse行列$ \mathbf{H}\lbrack f\rbrack(\vec{a})が負定値行列 $ f_{x_1}(\vec{a})=0,\dots,f_{x_n}(\vec{a})=0かつHesse行列$ \mathbf{H}\lbrack f\rbrack(\vec{a})が正定値行列でも負定値行列でもないとき，$ \vec{a}は$ fの鞍点と呼ばれる． 注意: 1変数関数について
1変数関数のHesse行列が$ \mathbf{H}\lbrack f\rbrack(a) \coloneqq \begin{bmatrix} f_{xx} (a )\end{bmatrix}で行列式も$ f_{xx}(a)であることを踏まえると， $ fが$ aで極大値$ \iff$ f'(a)=0かつ$ f''(a) > 0
$ fが$ aで極小値$ \iff$ f'(a)=0かつ$ f''(a) < 0
という見慣れた式が出てくる．
参考文献