Łukasiewiczの3公理図式による証明

Def

論理記号は$ \to,\botとする

略記

$ \lnot A \equiv A \to \bot

$ \top \equiv \lnot \bot

$ A \lor B \equiv \lnot A \to B

$ A \land B \equiv \lnot (A \to \lnot B)

公理図式

1. $ \vdash A \to B \to A

2. $ \vdash (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C)

3. $ \vdash (\lnot A \to \lnot B) \to A \to B

推論規則

モーダス・ポネンス：$ \vdash A \to Bかつ$ \vdash Aならば$ \vdash B

Problem

以下を証明せよ．

$ \vdash A \to B \to (A \land B)

$ \vdash (A \to C) \to (B \to C) \to (A \lor B \to C)

ただし技術的要請より，演繹定理は使えないものとする

Memo

略記として導入してしまったが，システムとしては公理として要請すればよかった気もしてくる．