l'Hôpitalの定理
ロピタルの定理と呼ばれる．
ロピタルが発見したものではないとされる．
定理
$ -\infty \leq c \leq \infty
次の条件を満たせば，$ \lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}
1. 極限の十分近く（すなわち$ c付近）で$ f(x),g(x)が微分可能かつ，$ g'(x) \neq 0
より厳密にいいたいなら$ 0 < \varepsilonで$ c-\varepsilon < x < c + \varepsilonとして適当に
2. $ \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0
3. 極限値$ \lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}が存在する
例
$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \rightsquigarrow \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1
不適切な例
$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} \not\rightsquigarrow \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \cos x}{1}
実際，極限値$ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \cos x}{1}は振動するので不定．
ただし，$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} = \lim_{x \to \infty}\left( 1 + \frac{\sin x}{x} \right) = 1で極限は存在する．
$ \lim_{x \to \infty}\frac{\sin x}{x} = 0より．はさみうちの原理