Tarskiの真理概念を使ったGödelの不完全性定理
TODO:
ペアノ算術の体系において
式とは,記号列のことを指す
何の意味も持たないものもある.
項とは,何らかの自然数を指示する系における最小の構成単位である
論理式とは,項をルールによって並べた式である
文とは,自由変数が1つもない,閉じた論理式のことを指す
1. 自由変数が1つの論理式は何らかの数の集合を言及することができる
ex: $ \exists v_2(v_1 = 2 \cdot v_2)とした時,自由変数は$ v_1だけである(非形式的には,$ v_1は偶数全体を言及する)
こういった論理式を$ F(v_1)と表すこととし,言及論理式と言うこととする.
2. 式には一意に自然数を割り振ることができる(Gödel数) 3. 系で構成できる文の集合(もちろん可算無限)の中には真と判定されるような文の集合を定義することができる.
ex: $ \exists v_2(4 = 2 \cdot v_2)には自由変数が1つもない,この文は真である(非形式的には,4は偶数である)
$ v_1 = 4とした$ F(\bar{4})で表す.
4. すべての真の文のGödel数の集合を$ Tとする
5. $ Tを言及する言及論理式$ F_Tは構成できるか?
6. 論理式$ Fの証明とは
次の論理式の有限列$ F_1,F_2 \dots F_nが存在することを指す
$ F_n = F
すべての$ i,j,k (i < j < k)で論理式$ F_kが
公理の形をしている
$ F_i,F_jのモーダスポネンスで導出される
7. 論理式の有限列は繋げて1つの式とみなすことが出来て,この式のGödel数も計算できる
論理式の証明列のGödel数と呼ぶことにする
8. すべての論理式の証明列のGödel数の集合を$ Pとする
9. $ Pを言及する言及論理式$ F_Pは構成できるか?
出来る!
10. ある体系が正確とは
真な文は必ず証明できて,偽な文は反証出来る
11. ペアノ算術は正確と仮定する