Kの特徴づけから様相論理での非反射性の定義不可能性を導く

Memo

Def

$ \mathbf{K} = \{ A \mid \text{$A$ is valid on all frame} \}

$ \mathcal{H}_\mathbf{K}は$ \bf KのHilbert流演繹体系とする．

$ \mathbb{F}_\mathbf{K}は全てのKripkeフレームのクラスとする．

Lem

$ \mathbf{K} = \{ A \mid \text{$A$ is valid on all rooted frame} \}

$ \mathbf{K} = \{ A \mid \text{$A$ is valid on all intransitive trees} \}

$ \mathbf{K} = \{ A \mid \text{$A$ is valid on all intransitive and irreflexive trees} \}

A. Chagrov, M. Zakharyaschev; "Modal Logic" Cor 3.18の証明をよく観察すると作られる木は非反射的になっている．

Thm

Kripkeフレームの非反射性は定義できない．

proof sketch

仮に$ \mathsf{ir}という公理があって非反射性を定義づけるとする．

すなわち：$ F \vDash \mathsf{ir}$ \iff$ Fは非反射的

このとき$ \mathsf{ir} \sube \{ A \mid \text{$A$ is valid on irreflexive frame} \}

ところが明らかに真の包含関係があって，

$ \{ A \mid \text{$A$ is valid on intransitive and irreflexive tree} \} \sub \{ A \mid \text{$A$ is valid on irreflexive frame} \}

左辺は$ \{ A \mid \text{$A$ is valid on all frame} \}と同値だから，明らかに成り立たない包含関係が成り立つ．

よってそのような集合はありえない．

Memo

同様のことは非推移性にも言える．