Cauchy-Riemannの定理
Thm: Cauchy-Riemannの定理
$ D \sube \mathbb{C}とする．
$ x,y \in \R, u,v \colon \R^2 \to \Rとする．
複素関数$ w = f(z)が$ f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y)であるとき，次は同値．
1. $ fは$ D上で正則
2. $ u,vは$ D上で$ C^1級かつ，Cauchy-Riemann方程式$ \begin{cases} u_x = v_y \\ v_x = -u_y \end{cases}を満たす．
このとき，
導関数$ f'(x+iy) = u_x(x,y) + iv_x(x,y)