カントール関数
カントール関数:$ c: [0,1]\to[0,1]
引数$ x を三進小数展開する。
10進数との対応は 1→1, 2→2, 3→10, 4→11, ... となる。
得られた小数の中に数字 1 が含まれていれば、そのうち最初に現れるもののみを残してそれより後の全ての桁を 0 に置換する。
得られた小数の中に数字 2 が残っていれば、それらを全て 1 に置換する。
得られた小数を二進小数だと思って解釈する。この結果が $ c(x) の値である。
要するにカントール集合$ \mathcal{C}に属する実数以外の部分は定数関数 この観点で同値な書き換えを行うと以下となるか。
if $ x\in [0,1] \backslash \mathcal{C} then $ c(x) = \sup_{y\leq x, y\in\mathcal{C}}c(y)
If $ x = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2a_n}{3^n}\in \mathcal{C} then $ c(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{2^n}
$ a_n = 0 or$ 1
$ xを3進数で展開した各桁を表すと結局こうかける。
作り方のイメージ:
まず: $ c(0) = 0, c(1) = 1
次に、区間を三分割して、真ん中の区間を両端の半分の値をもつ定数関数にする
$ c(x) = \frac{c(0) + c(1)}{2} = \frac{1}{2} if $ \frac{1}{3} \leq x < \frac{2}{3}
これを繰り返していく。下側
$ c(x) = \frac{c(0) + c(1/3)}{2} = \frac{1}{4} if $ \frac{1}{9} \leq x < \frac{2}{9}
上側も同じように
$ c(x) = \frac{c(2/3) + c(1)}{2} = \frac{3}{4} if $ \frac{7}{9} \leq x < \frac{8}{9}
間は連続になるようにつなぐ。
上のイメージから構成した帰納的な定義:
区間$ [0,1] における関数列 $ \{f_n\}_{n=0}^{\infty}を以下のように帰納的に定義する。
まず、$ f_0 (x) = x
次に
$ f_{n+1}(x) = 3/2 \times f_n(3x), when $ 0 ≤ x ≤ 1/3
$ f_{n+1}(x) = 1/2, when $ 1/3 ≤ x ≤ 2/3
$ f_{n+1}(x) = 1/2 + 1/2 × f_n(3 x − 2), when $ 2/3 ≤ x ≤ 1
すると、
n=1
$ f_{1}(x) = 3x/2, when $ 0 ≤ x ≤ 1/3
$ f_{1}(x) = 1/2, when $ 1/3 ≤ x ≤ 2/3
$ f_{1}(x) = 3x/2 − 1/2, when $ 2/3 ≤ x ≤ 1
n=2
$ f_{2}(x) = 9x/4, when $ 0 ≤ x ≤ 1/9
$ f_{2}(x) = 1/4, when $ 1/9 ≤ x ≤ 2/9
$ f_{2}(x) = 9x/4 - 1/4, when $ 2/9 ≤ x ≤ 3/9
$ f_{2}(x) = 1/2, when $ 3/9 ≤ x ≤ 6/9
$ f_{2}(x) = 9x/4 - 1, when $ 6/9 ≤ x ≤ 7/9
$ f_{2}(x) = 3/4, when $ 7/9 ≤ x ≤ 8/9
$ f_{2}(x) = 9x/4 - 5/4, when $ 8/9 ≤ x ≤ 9/9
この収束先としてカントール関数が定義できる。
ぱっとみて規則性は明らかだし、階段を細かくしてそれを連続でつなぐというイメージはつきやすいだろう。
wikipediaの以下の図がめちゃくちゃわかりやすい
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Cantor_function_sequence.png/250px-Cantor_function_sequence.png
$ f_n(0) = 0, f_n(1) = 1 for all $ n
$ f_{n}(x) = 1/2, when $ 1/3 ≤ x ≤ 2/3 for $ n \geq 1
定義から明らか
ちゃんと三進小数→二進小数の定義と一致することを示す必要がある。
病的な特徴
一様連続かつ広義単調増加 (単調非減少) 関数
ゆえにグラフは有限の長さをもつ
カントール集合$ \mathcal{C}に属さない実数の近傍では定数関数であるが、$ \mathcal{C}に属する実数の近傍では微分不可能。