コーシー列
定義:
$ \lim_{n,m\to\infty}|x_n - x_m| = 0
を満たす数列 $ \{x_n\} をコーシー列と呼ぶ
コーシーは数学者の名前
自己漸近列という名称が個人的には一番好き
$ \epsilon\text{-}\N論法の言葉で以下のようにかける (単なる定義)
$ \forall\epsilon>0, \exist N(\epsilon)\in\mathbb{N}\ s.t.\ \forall n>N(\epsilon)\ \&\ \forall n>N(\epsilon) \Rightarrow\ |x_n - x_m| < \epsilon
これは次の命題と同値 (これは定理、証明は簡単)
$ \forall\epsilon>0, \exist N(\epsilon)\in\mathbb{N}\ s.t.\ \forall n>N(\epsilon)\Rightarrow\ |x_n - x_{N(\epsilon)}| < \epsilon
コーシー列であることとその数列が収束することは同値であるという超重要な性質がある。