指数計算 - pogi-log

指数計算

指数(exponent)

$ a^p

$ a : 底

読み方: aのp乗

例: $ 2^3 2の3乗

$ x = a^p

$ x : 真数

$ p = \log_a{x}

指数法則

1. $ a^ma^n = a^{m+n}

2. $ (x^a)^b = x^{ab}

例:

$ (2^3)^2 = (2 \times 2 \times 2)^2 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2)

$ \quad = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2

$ \quad = 2^6

3. $ (ab)^n = a^nb^n (分配法則)

4. $ a^0 = 1

5. $ x^{\frac{a}{b}} = (x^{\frac{1}{b}})^a

6. $ a^{-m} = \frac{1}{a^m}

7.$ a^m \div a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

8. $ (a \div b)^n = a^n \div b^n

→$ (a \div b)^n = (a b^{-1})^n = a^nb^{-n} = a^n \div b^n

9. $ a^{\frac{1}{m}} = \sqrt[m]{a}

「○分の１乗」は「○乗根」

平方根$ \sqrt{} の定義は「m乗するとaになるような数」

10. $ a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} = (\sqrt[m]{a})^n

「○分の×乗」は、「×乗したものの○乗根」または「○乗根を×乗した数」を表す

少数計算

例題

1. 少数を分数に変換する

$ 81^{0.75} = 81^{\frac{75}{100}}

2. 可能であれば約分する

$ 81^{\frac{75}{100}} = 81^{\frac{3}{4}}

3. 指数を掛け算の式に書き直す

$ 81^{\frac{3}{4}} = 81^{\frac{1}{4} \times 3 }

4. 「累乗の累乗」として書き直す

$ 81^{\frac{1}{4} \times 3 } = (81^{\frac{1}{4}})^3

5. 基数を無理式として書き直す

$ (81^{\frac{1}{4}})^3 = (\sqrt[4]{81})^3

無理式を計算する

$ (\sqrt[4]{81})^3 = (\sqrt[4]{3 \times 3 \times 3 \times 3})^3 = (3)^3

参考