無限次元の行列では右逆行列と左逆行列が一致しない

無限次元の行列では右逆行列と左逆行列が一致しないって話を聞いた

有限次元の時は単位元が唯一であることと結合則とから左右の逆行列の一致を言ってたと思うが無限次元だとなんでダメなのか

(p1) 任意のAについて「XA=AY=IとなるX, Yがある時、X=XI=X(AY)=(XA)Y=IY=Yなので、X=Y」

反例(教えてもらった)

無限次元ベクトルの先頭に0をつける操作をB、先頭を取り除く操作をCとする

BC=I だが CB!=I

(p1)は「XA=AY=IとなるX, Yがある時、X=Y」の話をしていて、「XA=IとなるXがある時、AY=IとなるYがあって、X=Y」とは言ってない

今回の反例ではCY=IとなるYが存在しない

つまり「P,QならばR」という形の命題を「PならばQ,R」と勘違いしていた

その勘違いに基づいて推論すると、知識の体系に不整合が起きた

「無限次元でも単位元は唯一だし、結合則は成り立つよな？」と考えてた

この不整合で「理解できてない」という気持ちが生まれたのだろう