eq7-proof

$ [x^k]F = \sum_{i=0}^k \binom{n+1}{i}\binom{m-i}{k - i} であるような形式的べき級数Fを考える

$ \displaystyle F = \sum _ {k=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{k} {n+i \choose i}{m-i \choose k-i} x^{k}

$ k < iの時$ \binom{m-i}{k-i} = 0 なので $ \sum_{i=0}^{k}を $ \sum_{i=0}^{\infty} にして良い

$ \displaystyle F = \sum _ {k=0}^{\infty} \sum _ {i=0}^{\infty} {n+i \choose i}{m-i \choose k-i} x^{k}

$ \displaystyle F = \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} {n+i \choose i}{m-i \choose k-i} x^{k} ... 足し算の順序の変更

$ \displaystyle F = \sum_{i=0}^{\infty}\left({n+i \choose i} \sum_{k=0}^{\infty} {m-i \choose k-i} x^{k}\right) ... kに依存しない係数をくくりだし

$ k < iの時$ \binom{m-i}{k-i} = 0 なので$ j=k - i \quad (j > 0)として

$ \displaystyle F = \sum_{i=0}^{\infty}\left({n+i \choose i} \sum_{j=0}^{\infty} {m-i \choose j} x^{j}x^i\right)

$ \displaystyle F = \sum_{i=0}^{\infty}\left({n+i \choose i} (1+x)^{m-i} x^i\right) ... 二項定理

$ \displaystyle F = \sum_{i=0}^{\infty}\left({n+i \choose i} (1+x)^m(1+x)^{-i} x^i\right)

$ \displaystyle F = (1+x)^m \sum_{i=0}^{\infty}\left({n+i \choose i} \left(\frac{x}{1+x}\right)^i \right) ... iに依存しない係数をくくりだし

$ \displaystyle F = (1+x)^m \sum_{i=0}^{\infty}\left({i+n \choose n} \left(\frac{x}{1+x}\right)^i \right) ... by eq4-3

$ \displaystyle F = (1+x)^m / \left(1 - \frac{x}{1+x}\right)^{n+1} ... 負の二項定理

$ \displaystyle F = (1+x)^m / \left(\frac{1}{1+x}\right)^{n+1}

$ \displaystyle F = (1+x)^m (1+x)^{n+1}

$ \displaystyle F = (1+x)^{m+n+1}

$ \displaystyle F = \sum_{k=0}^\infty \binom{m+n+1}{k} x^k ... 二項定理

$ [x^k]F = \binom{m+n+1}{k}