負の二項定理

$ (1-x)^{-d} = \sum_{n=0}^\infty \binom{n+d-1}{d-1}x^n

other form:

$ 1/(1-x)^{d+1} = \sum_{n=0}^\infty \binom{n+d}{d}x^n

証明

数学的帰納法を使うためにdで成立していると仮定してd+1での成立を示す

$ -d\cdot (1-x)^{-d-1} \cdot (-1) = \sum_{n=0}^\infty (n+1)\binom{n+d}{d-1}x^n

両辺をdで割って整理する

$ (1-x)^{-(d+1)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{d}\binom{n+d}{d-1}x^n

$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

から

$ \binom{n+d}{d-1} = \frac{(n+d)!}{(d-1)!(n+1)!}

なので

$ \frac{n+1}{d}\binom{n+d}{d-1} = \frac{(n+d)!(n+1)}{d (d-1)! (n+1)!} = \frac{(n+d)!}{d! n!} = \binom{n + d}{d}

整理すると

$ (1-x)^{-(d+1)} = \sum_{n=0}^\infty \binom{n+(d+1) -1}{(d+1)-1}x^n

よってd+1で成立することが示された

d=1の場合

$ (1-x)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \binom{n}{0}x^n = \sum_{n=0}^\infty x^n