黃金數
golden number$ \varphi
$ \varphi=\frac{\varphi+1}\varphi
$ \varphi^2-\varphi-1=0
$ \varphi=\frac{1+\sqrt 5}2\Doteq 1.618033988749895
正則連分數$ \varphi=[1;1,1,\dots]=1+\frac 1{1+\frac 1{1+\dots}}
無限多重根號$ \varphi=\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}
Fibonacci 數$ F_n=\frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt 5} Numero di Fibonacci
$ \lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi
$ \begin{pmatrix}F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}^n
$ F_{2n+1}={F_n}^2+{F_{n+1}}^2
母函數$ G(F_n;x)=\sum_{n=0}^\infty F_n x^n=\frac x{1-x-x^2} $ \psi=\sum_{k=1}^\infty \frac 1{F_k}
Lucas 數列
$ x^2-Px+Q=0の解を$ \alpha,\betaとする
$ U_n(P,Q)=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}
$ U_0=0,$ U_1=1,$ U_{n+2}=PU_{n+1}-QU_n
$ V_n(P,Q)=\alpha^n+\beta^n
$ V_0=2,$ V_1=P,$ V_{n+2}=PV_{n+1}-QV_n
$ F_n=U_n(1,-1)
Lucas 數
$ L_0=2,$ L_1=1,$ L_{n+2}=L_{n+1}+L_n
$ \lim_{n\to\infty}\frac{L_{n+1}}{L_n}=\varphi
$ L_n=V_n(1,-1)
圖形
$ r=(\varphi^{2/\pi})^\theta
殆ど整數
$ \varphi^{17}\Doteq 3571.000280033584
$ \varphi^{18}\Doteq 5777.999826929732
$ \varphi^{19}\Doteq 9349.000106963316
plastic 數
$ \rho^3-\rho-1=0
$ \rho=\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\dots}}
$ \rho=\sqrt{1+\frac 1{\sqrt{1+\frac 1{\dots}}}}
$ a_0=a_1=a_2=0,$ a_{n+3}=a_{n+1}+a_n
$ P_0=3,$ P_1=0,$ P_2=2,$ P_{n+3}=P_{n+1}+P_n
貴金屬比 (metallic ratio)
$ x^2-nx-1=0
$ \frac{n+\sqrt{n^2+4}}2
正則連分數$ [n;n,n,\dots]
數列$ M_0=0,$ M_1=1,$ M_{k+2}=nM_{k+1}+M_k
$ \lim_{k\to\infty}\frac{M_{k+1}}{M_k}
$ n=2白銀比 (silver ratio)$ \sigma=1+\sqrt 2
$ P_0=0,$ P_1=1,$ P_{n+2}=2P_{n+1}+P_n
$ P_n=\frac{\sigma^n-(1-\sigma)^n}{2\sqrt 2}
$ n=3青銅比 (bronze ratio)$ \frac{3+\sqrt{13}}2
※貴金屬比ではない