陰計算
umbral calculus
多項式列$ \{p_n(x)\}に$ p_n(0)=L(y^n)となる線形作用素$ Lを考へられるなら、$ p_n(x)=L((y+x)^n)を$ (y+x)^nの樣に扱って計算できる
變數$ yを umbra と呼ぶ
$ p_n(x)を、$ xを變數とした$ n次の多項式とする。多項式列$ \{p_n(x)|n\in\N\}が Sheffer 列であるとは、$ Q:p_n(x)\mapsto np_{n-1}(x)で定義される線形作用素$ Qが shift 同變でもある事を言ふ shift 同變 (shift-equivariant)
$ T_aを shift 作用素$ T_a:p(x)\mapsto p(x+a)とする。任意の$ aについて$ T_aQp=QT_apであれば$ Qは shift 同變であると言ふ 陰合成 (umbral composition)
$ p=\{p_n(x)=\sum_{k=0}^n a_{n,k}x^k|n\in\N\},$ q=\{q_n(x)=\sum_{k=0}^n b_{n,k}x^k|n\in\N\}として$ p\cdot q=\{\sum_{k=0}^n a_{n,k}q_k(x)|n\in\N\}
$ \sum_{k=0}^n a_{n,k}q_k(x)=\sum_{0\le k\le l\le n}a_{n,k}b_{k,l}x^l
單位元は$ \{x^n|n\in\N\}つまり$ \{\sum_{k=0}^n \delta_{n,k}x^k|n\in\N\}
陰多元環 (umbral algebra。陰代數)
二項型 (binomial type)
Sheffer 列$ \{p_n(x)|n\in\N\}は、任意の$ xについて$ p_0(x)=1であり、かつ任意の$ n>0について$ p_n(0)=0であれば二項型であると言ふ $ p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}p_k(x)p_{n-k}(y)が成り立つ
$ \{x^n\}は二項型である
キュムラントとの關係