自由函手⊣忘卻函手
←→餘自由函手 (cofree functor)
具象圈 (concrete category)
圈$ \bf Cは、忠實函手$ U:{\bf C}\to{\bf SET}が存在するならば具象圈と呼ぶ 隨伴 (函手)$ (\Gamma\dashv{\rm coDisc}):{\bf D}\xrightleftarrows[\Gamma]{\rm coDisc}{\bf C} の單位 (圈)$ \etaを構成する射$ \eta_X:X\to(\Gamma;{\rm coDisc})(X)が mono 射と成る對象$ X\in|{\bf C}|を具象對象と呼ぶ ←→餘具象對象 (co-concrete object) 隨伴 (函手)$ ({\rm Disc}\dashv\Gamma):{\bf C}\xrightleftarrows[\rm Disc]{\Gamma}{\bf D} の餘單位$ \epsilonを構成する射$ \epsilon_X:(\Gamma;{\rm Disc})(X)\to Xが epi 射と成る對象$ X\in|{\bf C}|を餘具象對象と呼ぶ 臺集合 (underlying set)
→構造を備へた集合
臺對象 (underlying object)
忠實函手$ U:{\bf C}\to{\bf D}が在る時、對象$ U(X)\in|{\bf D}|を$ Xの臺對象と呼ぶ 臺集合は$ \bf Setへの臺對象
$ ({\rm Disc}\dashv\Gamma\dashv{\rm coDisc}):{\bf D}\to{\bf C}
$ \Gammaには多くの場合で忘卻函手或いは具象圈からの函手が使はれる 隨伴三連 (離散位相の導入$ {\bf Set}\to{\bf Top})$ \dashv(忘卻函手$ {\bf Top}\to{\bf Set})$ \dashv(密着位相の導入$ {\bf Set}\to{\bf Top}) の一般化 離散對象 (discrete object)$ ({\rm Disc}\dashv\Gamma):{\bf C}\xrightleftarrows[\rm Disc]{\Gamma}{\bf D} 函手$ \Gamma:{\bf C}\to{\bf D}に對して、充滿忠實函手である左隨伴$ {\rm Disc}\dashv\Gammaが在れば、$ \Gammaは離散對象を持つと言ひ、$ {\rm Disc}(X)\in|{\bf C}|を離散對象と呼ぶ 餘離散對象 (codiscrete object)$ (\Gamma\dashv{\rm coDisc}):{\bf D}\xrightleftarrows[\Gamma]{\rm coDisc}{\bf C} 函手$ \Gamma:{\bf C}\to{\bf D}に對して、充滿忠實函手である右隨伴$ \Gamma\dashv{\rm coDisc}が在れば、$ \Gammaは餘離散對象を持つと言ひ、$ {\rm coDisc}(X)\in|{\bf C}|を餘離散對象と呼ぶ