確率過程
stochastic process。random process
時刻$ tに依存する確率變數の集まり$ X=\{X_t\}_{t\ge 0} 確率空閒$ (\Omega,{\cal F},P)
可測空閒$ (S,\Sigma)
狀態空閒$ S
$ X:\Omega\times T\to S
$ X_t:\Omega\to S
martingale 法 (倍 push)
定常過程 (stationary process) 定常性 (strictly stationary。strongly stationary。strict-sense stationary)
確率過程$ (X_t)について、$ F_Xを特定の時點に依存しない、$ X_{t_1+\tau},X_{t_2+\tau},\dots,X_{t_n+\tau}の累積分布函數とする。$ \forall \tau,t_1,t_2,\dots,t_nに對して$ F_X(X_{t_1},X_{t_2},\dots,X_{t_n})=F_X(X_{t_1+\tau},X_{t_2+\tau},\dots,X_{t_n+\tau})であれば、定常過程であると言ふ $ E\lbrack w(t)\rbrack=0
$ E\lbrack w(t_1)w(t_2)\rbrack=\sigma^2\delta(t_1-t_2)
Марков-ское (形容詞化接尾辭) свойство (中性名詞)
次時點の狀態が現時點だけに依存する$ p(x_{n+1}|x_n,x_{n-1},\dots)=p(x_{n+1}|x_n)
Марков-ский (形容詞化接尾辭) процесс (男性名詞)
Маркова (屬格) цепь (女性名詞)
線形 model (最小二乘法)→一般化線形 model・一般化線形混合 model (最尤推定)→階層 Bayesian model 加法過程 (additive process。獨立增分過程 (independent increments process))
確率連續性
任意の$ \varepsilon>0について$ \lim_{h\to 0}P(|X_{t+h}-X_t|>\varepsilon)=0
càdlàg 性
$ P(\Omega_0)=1を滿たす$ \Omega_0\in{\cal F}が存在し、かつ、任意の$ \omega\in\Omega_0について$ X_t(\omega)は右連續でかつ左極限をもつ
獨立增分性
どの時點の增分$ X_{t_n}-X_{t_{n-1}}も確率的に獨立。他の時點の增分に依存しない
定常增分性 (時閒的一樣性 (time homogeneity))
どの時點での增分$ X_{t+s}-X_tも時點に依存しない。どの時點の增分も同じ確率分布に從ふ
擴散方程式$ \frac{\partial\rho(x,t)}{\partial t}=D\frac{\partial^2\rho(x,t)}{{\partial x}^2}
微粒子が時刻$ tに位置$ xに在る確率密度$ \rho
擴散係數$ D=\frac{RT}{N_A}\frac 1{6\pi\mu a}=\frac{k_B T}{6\pi\mu a}
平均變位$ \lambda=\sqrt{\lang(x-x_0)^2\rang}
平均二乘變位$ \lang(x-x_0)^2\rang=\int_{-\infty}^\infty(x-x_0)^2\rho(x,t){\rm d}t=2Dt
Langevin 動力學 (Langevin dynamics)
$ m\frac{{\rm d}{\bf v}}{{\rm d}t}=-\beta{\bf v}+\eta(t)
$ \betaは抵抗係數
$ \eta(t)は random な力