演算子法
微分$ \frac{df}{dt}を$ Dfと見做す
高階の微分は$ D^n fと書く
積分$ \int_0^t f(x)dxを微分方程式$ Dy=f(t)の解として$ D^{-1}fと見做す。$ \frac f Dとも書く
高階の積分は$ D^{-n}fと書く
$ D^0f=fと見做す
$ F(x)=\sum_{n=i}^j a_n x^nとして、$ F(D)f=\sum_{n=i}^j a_n D^n fと見做す
$ D^{-n}f(t)=\frac{t^n}{n!}f(t).
$ \frac 1{D+a}fは$ (D+a)y=fの解、卽ち微分方程式$ y'+ay=fの解であるから、$ \frac 1{D+a}f=e^{-ax}\int e^{ax}f(x)dx
$ \frac D{D-a}f(t)=\frac 1{1-\frac a D}f(t)=\sum_{n=0}^\infty a^nD^{-n}f(t)=\sum_{n=0}^\infty a^n\frac{t^n}{n!}f(t)=e^{at}f(t).
$ {\cal F}[Df]=isF(s)
$ {\cal L}\lbrack Df\rbrack=sF(s)-f(0)
$ {\cal L}\lbrack D^nf\rbrack=s^nF(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{n-k-1}f^{(k)}(0)
$ {\cal L}\lbrack D^{-1}f\rbrack=\frac 1 sF(s)
$ {\cal L}\lbrack D^{-n}f\rbrack=\frac 1{s^n}F(s)