ε-δ論法
函數$ f:\R\to\Rとして$ \lim_{x\to a}f(x)=bとは$ \forall\varepsilon_{>0}\exist\delta_{>0}{\rm s.t.}\forall x(0<|x-a|<\delta\supset|f(x)-b|<\varepsilon)
數列$ a_n:\N\to\Rとして$ \lim_{n\to\infty}a_n=bとは$ \forall\varepsilon_{>0}\exist N_{\in\N}{\rm s.t.}\forall n(n>N\supset|a_n-b|<\varepsilon)
收束 (收斂。convergence)
函數列の收束
各點收束 (pointwise convergence) 函數列$ f_0,f_1,\dotsに對して$ \forall x\forall\varepsilon_{>0}\exist N_{\in\N}(n\ge N\supset|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon)
一樣收束 (uniform convergent) 函數列$ f_0,f_1,\dotsに對して$ \forall\varepsilon_{>0}\exist N_{\in\N}\forall x(n\ge N\supset|f_n(x)-f(n)|<\varepsilon)
函數の級數を函數列と考へる
級數の收束
絕對收束 (absolutely convergent) $ \sum_{n=0}^\infty|a_n|が收束する時、無限和$ \sum_{n=0}^\infty a_nは絶對收束すると言ふ $ \sum_{n=0}^\infty|a_n|が收束する時、無限積$ \prod_{n=1}^\infty(a_n+1)は絶對收束すると言ふ Riemann の再配置定理 (Riemann rearrangement theorem) が成立しない。和や積の順番を入れ替へ (可換) られる
條件收束 (converge conditionally)
無條件收束 (unconditional convergence) 分布收束。弱收束。法則收束 (converge in law)$ \xrightarrow{d} 確率收束$ \xrightarrow{p}
槪收束$ \xrightarrow{a.s.}
確實收束 (sure convergence)。各點收束 平均收束 (limit in the mean)$ \xrightarrow{L^r} 種類
實函數$ f:\R\to\Rが$ a_{\in\R}で連續であるとは、$ \forall\epsilon_{>0}\exist\delta_{>0}\forall x(0<|x-a|<\delta\supset|f(x)-f(a)|<\epsilon)
距離空閒$ (X,d_X)から$ (Y,d_Y)への函數$ f:X\to Yが點$ a_{\in X}連續であるとは、$ \forall\epsilon_{\in\R^+}\exist\delta_{\in\R^+}\forall x_{\in X\setminus\{a\}}(d_X(x,a)<\delta\supset d_Y(f(x),f(a))<\epsilon) 位相空閒$ (X,{\cal O}^X)から$ (Y,{\cal O}^Y)への函數$ f:X\to Yが連續であるとは、$ \forall O_{\in{\cal O}^Y}(f^{-1}(O)\in{\cal O}^X) $ {\cal N}(-)を近傍系として、$ \forall V_{\in{\cal N}(f(a))}(f^{-1}(V)\in{\cal N}(a))とも言ふ
$ \forall V_{\in{\cal N}(f(a))}\exist W_{\in{\cal N}(a)}(f(W)\subset V)とも言ふ
Hölder 連續
Lipschitz 連續
絕對連續
同程度連續