ε-δ論法
函數$ f:\R\to\Rとして$ \lim_{x\to a}f(x)=bとは$ \forall\varepsilon_{>0}\exist\delta_{>0}s.t.\forall x(0<|x-a|<\delta\to|f(x)-b|<\varepsilon)
數列$ a_n:\N\to\Rとして$ \lim_{n\to\infty}a_n=bとは$ \forall\varepsilon_{>0}\exist N_{\in\N}s.t.\forall n(n>N\to|a_n-b|<\varepsilon)
收束 (收斂。convergence)
函數列の收束
各點收束 (pointwise convergence) 函數列$ f_0,f_1,\dotsに對して$ \forall x\forall\varepsilon_{>0}\exist N_{\in\N}(n\ge N\to|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon)
一樣收束 (uniform convergent) 函數列$ f_0,f_1,\dotsに對して$ \forall\varepsilon_{>0}\exist N_{\in\N}\forall x(n\ge N\to|f_n(x)-f(n)|<\varepsilon)
函數の級數を函數列と考へる
級數の收束
絕對收束 (absolutely convergent) $ \sum_{n=0}^\infty|a_n|が收束する時、無限和$ \sum_{n=0}^\infty a_nは絶對收束すると言ふ $ \sum_{n=0}^\infty|a_n|が收束する時、無限積$ \prod_{n=1}^\infty(a_n+1)は絶對收束すると言ふ Riemann の再配置定理 (Riemann rearrangement theorem) が成立しない。和や積の順番を入れ替へられる
條件收束 (converge conditionally)
無條件收束 (unconditional convergence) 分布收束。弱收束。法則收束 (converge in law)$ \xrightarrow{d} 確率收束$ \xrightarrow{p}
槪收束$ \xrightarrow{a.s.}
確實收束 (sure convergence)。各點收束 平均收束 (limit in the mean)$ \xrightarrow{L^r} 連續
種類
各點連續
一樣連續
Hölder 連續
Lipschitz 連續
絕對連續
同程度連續