三角形の中心
中心は、空虛で無であり絕對無であり無で無い。有であり有で無い。直示され直示されず、婉曲され婉曲されない。 三角形は四角形に成る。3→4
幾何的には一萬弱種類の中心が考へられてゐる
三角形の心
Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)
以下の條件を滿たす函數 (triangle center function)$ f:\R\times\R\times\R\to\Rによって三線座標系で$ f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)と表せる點を三角形の心と言ふ
零寫像でない$ \exist a,b,c(f(a,b,c)\ne 0)
齊次性$ \exist n_{\in\R}\forall t_{\in\{t|t\in\R,t>0\}}(f(ta,tb,tc)=t^n f(a,b,c)) 2 つ目と 3 つ目の引數について對稱$ f(a,b,c)=f(a,c,b)
傳統的な五心
內心 (incenter)$ X(1)
重心 (barycenter。幾何中心 (centroid))$ X(2)
外心 (circumcenter)$ X(3)
埀心 (orthocenter)$ X(4)
傍心 (excenter)
近代的な意味での三角形の心ではない
內心・外心・埀心でありうる
座標系
重心座標系
三線座標系
三角 plot (ternary plot)
共軛
三線座標系で$ f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c)を三角形の心として、直線$ fx+gy+hz=0を中心線と呼ぶ
$ g(a,b,c):=f(b,c,a)
$ h(a,b,c):=f(c,a,b)
$ x\sin 2A\sin(B-C)+y\sin 2B\sin(C-A)+z\sin 2C\sin(A-B)=0
重心・外心・埀心を通る
三線座標系$ x:y:zで$ rx^2+sy^2+tz^2+2uyz+2vzx+2wxy=0と表せる圓錐曲線 (二次形式) を言ふ 內接圓 (incircle)
外接圓 (circumcircle)
傍接圓 (excircle)
Catalogue of Triangle Cubics (CTC)