三値論理
3-valued logic、ternary logic、trivalent logic
不定 (indeterminate)。Łukasiewicz の三値論理
table:indeterminate
A B A∧B A∨B A→B ¬A A⊗B A⊕B
T T T T
T F F T
F T F T
F F F F
T I I T I F I T
F I F I T T F I
I T I T T I I T
I F F I I F I
I I I I T F T
例 : 未來偶然命題
特稱否定$ sOpも不定を意味し得る
公理
$ A\to(B\to A).
$ (A\to B)\to((B\to C)\to(A\to C)).
$ ((A\to B)\to B)\to((B\to A)\to A).
$ (\neg A\to\neg B)\to(B\to A).
divisibility :$ (A\land B)\to(A\otimes(A\to B))
double negation :$ \neg\neg A\to A
實數意味論。min-max 代數と見做せる
$ v(T)=1,$ v(I)=0.5,$ v(F)=0
implication :$ v(A\to B)=\mathrm{min}(1,1-v(A)+v(B))
equivalence :$ v(A\lrarr B)=1-|v(A)-v(B)|
negation :$ v(\neg A)=1-v(A)
weak conjunction :$ v(A\land B)=\mathrm{min}(v(A),v(B))
weak disjunction :$ v(A\lor B)=\mathrm{max}(v(A),v(B))
strong conjunction :$ v(A\otimes B)=\mathrm{max}(0,v(A)+v(B)-1)
strong disjunction :$ v(A\oplus B)=\mathrm{min}(1,v(A)+v(B))
無限値論理へ擴張できる
代數意味論
未定義 (undefinedness)。Kleene の三値論理
table:undefinedness
A B A∧B A∨B A→B ¬A
T U U T U F
F U F U T T
U T U T T U
U F F U U
U U U U U
cf. default 推論
RDB (relational database) の意味論
$ ({\rm NULL}={\rm NULL})\iff{\rm NULL}.
無意味 (meaningless)。Bochvar の三値論理
table:meaningless
A B A∧B A∨B A→B ¬A
T M M M M F
F M M M M T
M T M M M M
M F M M M
M M M M M
Void 型の樣な、矛盾を含んだ推論
兩方 (both)
table:both
A B A∧B A∨B A→B ¬A
T B B T B F
F B F B T T
B T B T T B
B F F B F
B B B B B