短時間フーリエ変換
短時間フーリエ変換（たんじかんフーリエへんかん、short-time Fourier transform、short-term Fourier transform、STFT）とは、関数に窓関数をずらしながら掛けて、それにフーリエ変換すること。音声など時間変化する信号の周波数と位相（の変化）を解析するためによく使われる。
概要
一般的なフーリエ変換では時間方向の情報が失われるため、それを時間方向に拡張した手法 定義
正変換
連続系
$ X\left(t, \omega\right) = \int_\mathbb{R} x(\tau)w(\tau - t){e}^{-j \omega t} d\tau
離散系
$ X_{m,k} = \sum_{n=0}^{N-1}x_n {{w}_{\mathrm{a}}}_{n+ms} {e}^{-j \omega k n}
ただし、$ sはフレームシフトである
$ sが小さいほど(1に近いほど)連続系の定義に近づき、瞬時の情報が捉えやすくなる(データ量、計算量も増える)
$ s = 1の時のSTFTを、スライディングDFTと呼ぶこともある
逆変換
連続系
$ \hat{x}\left(t\right) = \frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R} \int_\mathbb{R} X\left(\tau, \omega\right) {e}^{j \omega t} \ d\omega \ d\tau
離散系
$ \hat{x}_n = \frac{1}{N}\sum_\mathbb{R}{{w}_{\mathrm{s}}}_{n-ms}\sum_{k=0}^{N-1}{X}_{m,k}{e}^{j\omega k (n-ms)}
離散系の逆変換は、窓関数の条件によっては完全再構成を満たさない場合がある
完全再構成性条件は
$ \sum_m {{w}_{\mathrm{a}}}_{n-ms}{{w}_{\mathrm{s}}}_{n-ms} = 1