フーリエ変換
数学においてフーリエ変換（フーリエへんかん、英: Fourier transform; FT）は、実変数の複素または実数値函数を別の同種の函数に写す変換である。変換後の函数はもとの函数に含まれる周波数を記述し、しばしばもとの函数の周波数領域表現 (frequency domain representation) と呼ばれる。これは、演奏中の音楽を聴いてそれをコードに書き出すというようなことと同様な思想である。実質的に、フーリエ変換は函数を振動函数に分解する。
時間軸に投影するか、周波数軸に投影するかという写像の問題
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（/icons/todo.icon 図の出典）
定義
連続系(一般的な定義)
時間信号$ x(t)のフーリエ変換を$ X(f)としたとき
$ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\ \mathrm{e}^{- j 2 \pi f t} \ \mathrm{d}t \Longleftrightarrow x(t) = \int_{-\infty}^{\infty}X(f)\ \mathrm{e}^{j 2\pi f t} \ \mathrm{d}f
離散系
時間信号$ x_n\ (n = 0, 1, 2, \cdots, N-1)の離散フーリエ変換を$ X_kとしたとき
$ F_k = \sum_{n = 0}^{N-1} x_n \mathrm{e}^{-j 2 \pi k n/N} \Longleftrightarrow x_n = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}F_k \ \mathrm{e}^{j 2 \pi k n/N}
これらは、信号$ x(t)と周波数$ f(角周波数$ \omega = 2 \pi f)の複素正弦波$ \mathrm{e}^{j 2 \pi f t}の内積をとる操作に等しい 感覚的には両者の類似性を測るという考え方
フーリエ変換により、信号の時間的情報が失われる