量子コンピュータを用いた流体力学
How: 研究は、量子コンピュータを用いて古典流体のシミュレーションを行うことに焦点を当てています。結果として、古典流体シミュレーションにおける非線形性や散逸性の課題を克服するための戦略が示されました。展望として、低レイノルズ数の流れにおける量子アルゴリズムの応用が期待されています。
Characteristics: 他の研究と比べて、古典流体のシミュレーションに量子コンピュータを適用するという新しいアプローチが特徴です。また、高レイノルズ数の乱流問題に対する挑戦が含まれています。
Method: 研究は、量子ハードウェアと古典物理のシミュレーションを直接結びつける量子ゲートのマッピング手法を使用しました。非線形性と散逸性に対処するためのいくつかの戦略が提案されています。
Evaluation: 調査結果の評価には、特に高レイノルズ数での流体の乱流シミュレーションに対する量子アルゴリズムの実行可能性が検討されました。また、低レイノルズ数の流れにおける量子アルゴリズムの応用が評価されています。
Discussion: 乱流シミュレーションの課題に対して、量子コンピュータがどのように役立つかについて議論されました。また、低レイノルズ数の流れに対する量子アルゴリズムの潜在的な利点も示唆されています。
Label: 量子コンピューティング, 流体力学, シミュレーション, 乱流, 低レイノルズ数, QCFD(量子流体計算)
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1. 導入
量子コンピューティングは、近年非常に活発に追求されており、特にいくつかの科学的応用において、電子計算機の性能と比較して驚異的な速度向上を提供する可能性があるためです(1)。量子コンピューティングの起源は、リチャード・ファインマンの画期的な論文にまで遡ることができ、彼は物理学が「古典的ではない」ため、量子コンピュータでシミュレーションする必要があると指摘しました(2)。ファインマンの観察（T. ToffoliやE. Fredkinなどの先駆者に適切な敬意を払って）に続き、量子コンピューティングに関する初期の理論的研究は1980年代に行われ、例えば、量子理論、普遍的な量子コンピュータ、そしてチャーチ＝チューリング原理の関係についてのDeutschの研究がその一例です(3)。その後、1990年代半ばにShorの整数因数分解アルゴリズムやGroverの検索アルゴリズムが発表されると、量子コンピューティングの理論的研究とハードウェアにおいても大きな進展が見られました。この研究分野はそれ以来、絶えず成長を続けています(4, 7, 8)。
応用面では、量子多体系のシミュレーションが特に注目を集めており、その科学的および産業的な重要性だけでなく、量子ハードウェアとの密接な関係があるためです。これは、量子ハミルトニアンをネイティブな量子ゲートに直接マッピングできる可能性を意味します。本論文では、これまであまり研究されていない分野、すなわち古典流体のシミュレーションに量子コンピュータを使用することに焦点を当てます(50)。この目的のために、次の4つの象限で定義される物理学と計算の平面を参照することが便利です：CC: 古典物理学のための古典計算; CQ: 量子物理学のための古典計算; QC: 古典物理学のための量子計算; QQ: 量子物理学のための量子計算。これが図1に示されています（(5)から引用）。
ファインマンの観察は、図1のCQセクターに関係しており、ここでは量子多体系問題の位相空間に関連する指数関数的な複雑さの壁に直面することが多いです(11, 12)。基本的なアイデアは、このような指数関数的な壁は、QQ象限が提供する量子ビット表現の対応する指数関数的な能力で処理できるということです。本章では、反対の対角線上に位置するQC象限に焦点を当て、量子コンピューティングの力を古典物理学の難解な計算問題に活用する可能性について考察します。
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2. 量子流体計算の課題
前述のとおり、量子コンピューティングの可能性を実現するには、古典的コンピュータでは利用できない量子力学の独特な特徴を活用することが必要です。しかし、それは同時に、量子アドバンテージを伴うシミュレーションを実現する際に、まさにこれらの特徴が大きな課題をもたらすことを意味します。
量子アルゴリズムの潜在的な利益を生み出す主な量子力学的概念は、量子重ね合わせと量子並列性です。Q量子ビットのコヒーレントレジスタにおける量子状態は、シュレーディンガー波動関数によって記述され、重ね合わせ状態の$ 2^Q個の状態に対して$ 2^Q個の複素振幅で定義されます。これらの振幅の2乗は、量子測定後にシステムが対応する状態にある確率を定義します。これらの振幅に古典的データを符号化することで、必要な古典ビット数と比較して、保存にかかるリソースを指数関数的に削減できます。
具体的な例として、乱流シミュレーションの場合を考えてみましょう。乱流は$ Re^3の複雑さを持ち、レイノルズ数$ Reは対流（非線形性）と散逸の相対的な強さを表します。ほとんどの現実の問題では、レイノルズ数が数百万にも及びます。たとえば、飛行機の場合、$ Reはおよそ$ 10^8であり、シミュレーションには$ O(10^{24})の浮動小数点演算が必要です。これは、ほぼ理想的なエクサスケールの古典コンピュータで可能な限界に相当します。地域の大気循環の流れのシミュレーションでは、さらにレイノルズ数が上昇し、古典コンピュータでは到底対応できない範囲に到達します(16, 17)。一方で、$ Re^3の複雑さを表現するために必要な最小の量子ビット数Qは、$ 2^Q = Re^3という関係から概算できます。
しかし、以下の主要な課題があります：
量子測定：古典的情報を抽出すると量子波動ベクトルは単一の固有状態に崩壊します。古典的な値を得るためには、量子状態の複数の実現と測定が必要です。
条件付き操作：量子回路モデルでは、古典的情報は量子ゲート操作に利用できません。ゲート操作は制御量子ビットの状態に基づきますが、複素振幅に基づく操作は不可能です。
時間進行：複数の反復やタイムステップを含むアルゴリズムでは、古典データを抽出し量子状態を再初期化するオーバーヘッドが二乗で増加し、効率を低下させます。
回路深度(Depth)：二量子ビットゲートはエラー率が高く、一般的なQ量子ビット操作には4^Qのゲートが必要です。これにより、指数関数的な優位性が失われます。解決策としては、ユニタリ操作が組み合わせブロック対角である必要があります。
散逸(Dissipation)：散逸は量子伝播器のエルミート性を破壊しますが、エルミート共役を追加することで回復できます。これには失敗確率が伴い、測定によって対処する必要があります。
総じて、非線形および散逸項の扱いは、量子コンピュータを用いた流体力学シミュレーションにおいて大きな課題となります。
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3. 量子/古典 ハイブリッド手法
以下が日本語訳です。また、数式は$ ここに数式形式で示しました。
上記で概説した課題の結果として、現在のQCFD（量子流体力学）のほとんどの研究は、量子と古典を組み合わせたハイブリッドアプローチに基づいています。このアプローチでは、量子プロセッサが効率的な量子アルゴリズムが存在する計算を実行し、その結果が古典的なハードウェアに渡され、量子アルゴリズムに適さない（まだ）他の計算タスクがそこで実行されます。
図2はこのアイデアを示しています。量子状態$ \psi_0は、QQアルゴリズムを介して次の量子状態$ \psi_1に進みます。その後、量子状態$ \psi_1が測定され、古典的な観測量$ C_1が生成され、CCアルゴリズムによって$ C_2に進みます。次に、古典的な観測量$ C_2が使用されて量子状態$ \psi_2が再構築され、次のQQステップの準備が整います。図2に示されているQ2C変換では、量子測定が行われ、量子状態の統計サンプルに対して繰り返し測定が必要です。これらの量子状態は再利用できないためです。C2Q再構築では、すべての量子固有状態を準備する必要があり、したがって量子回路全体を初めからリセットする必要があります。両方の操作は、ハイブリッドアルゴリズムにかなりの計算負荷を課し、通常、量子ビット数に応じて指数関数的にスケールします。
ハイブリッド量子/古典アプローチを使用した以前の研究の例には、Steijl (22)、Gaitan (24)、およびBudinski (25)の研究が含まれます。Gaitanが提示したアルゴリズムは、Navier-Stokes方程式の標準的な離散化から得られる非線形常微分方程式のセットに適用されるKacewizの量子振幅推定ODEアルゴリズム(26)を使用しています。示されているように、特定の「非滑らかな」問題（収束-拡散ダクト内の準1次元流れと衝撃波で例示）では、複雑さの分析により指数関数的な速度向上の可能性が示され、ハイブリッド量子/古典コンピューティングに関連する課題を克服できる可能性があります。線形移流-拡散方程式に関しては、Budinski(27)が格子ボルツマン法(28, 29)に基づく量子アルゴリズムを提示しました。このアルゴリズムでは、適切な解ベクトルの再スケーリングが適用される場合、非単位性に対処するために量子測定や時間ステップ間での量子ビットレジスタの再初期化が不要で、複数の連続した時間ステップを実行できます。量子回路モデルでは、速度場が連続した時間ステップ間で変化しないという事実は、演算子$ u \frac{\partial u}{\partial x} を複数の時間ステップで再利用できることを意味します。Budinski(25)はその後、この研究をストリーム関数-渦度の形式でのNavier-Stokes方程式に拡張しました。次に、各時間ステップ中の速度場の更新により、対流項の量子回路実装を複数の時間ステップで再利用することはできず、次の時間ステップの量子回路実装を定義するために速度場の古典的な値（および他の流れ場データ）が必要です。これにより、非線形性がハイブリッド量子/古典アプローチを使用せざるを得なくなることが示され、これまでのNavier-Stokes方程式の離散化に基づく研究、たとえば量子ポアソンソルバーに基づく流体シミュレーション用のハイブリッド量子/古典アルゴリズム(22)と同様です。
要約すると、ハイブリッド量子/古典アプローチにおける主な課題は以下の通りです。
i) （繰り返し行われる）測定のコストと複雑さ
ii) 量子解のサンプリングによる統計的ノイズ
iii) （繰り返し行われる）初期化のコストと複雑さ
流体のための量子コンピューティングの将来的な成功には、より効率的な（再）初期化技術の開発が重要な要素であるように思われます。
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4. 量子流体の戦略
具体例として、時間依存の非圧縮流れに対するNavier-Stokes方程式を参照します：
$ \frac{\partial u}{\partial t} + u \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{\partial P}{\partial x} + \nu \Delta u (2)
$ \nabla \cdot u = 0 (3)
ここで、$ uは速度ベクトル、$ Pは圧力で、場所$ xにおける時間$ tの関数として定義されます。動粘性率は$ \nuで定義され、密度は慣例的に単位定数値に設定されています。式(3)は質量保存則を強制し、式(2)は各座標方向における運動量保存に基づいています。式(2)と式(3)は、対流項が非線形性を表していることを強調しており、つまり式(2)の左辺の第2項です。Navier-Stokes方程式を無次元形式で書くと、$ xと$ uはそれぞれ基準長$ L_{ref}と基準速度$ U_{ref}でスケーリングされるため、式(2)では$ \nuが$ 1/Reに置き換えられ、Reynolds数$ Re = \frac{U_{ref} L_{ref}}{\nu}となります。Stokes流（すなわち、Reynolds数が0に近づく場合）では、非線形項は極めて小さいですが、生物学的流れで特に重要な非自明な長距離相関に関与するため、無視できません(23)。Reynolds数が高い（乱流）流れでは、当然ながら非線形項が主導的な役割を果たします。
量子コンピュータ上で流体力学をシミュレートするために、主にハイブリッドアルゴリズムを含むさまざまな戦略が採用されてきました。それらは最近の展望論文でレビューされていますので(5)、ここでは単にリストし、詳細は元の文献を参照してください。
A. 非線形量子ODEソルバー
このアプローチは、離散化されたNavier-Stokes方程式を非線形ODEのセットとして扱い、専用の量子非線形ODEソルバーを開発することで時間的に進めるというものです。このアプローチはGaitan (24) によって先駆的に開発され、1400時間ステップにわたってO(30 − 60) グリッドポイントのラバルノズルのケースで実証されました。ただし、重要な問題は、量子オラクルの具体的な実装が古典コンピュータに依存していることです。
B. 非線形変分量子固有値ソルバー
最近、変分量子固有値（VQE）ソルバー、QQセクターの主要なツールが、流体方程式にも拡張できるという提案がされています(30)。基本的なアイデアは、適切な回路パラメータ化によって量子コンピュータを使用して変分固有関数を効率的に生成し、その関連エネルギー関数を古典的な手法で最小化することです。これらの方法の魅力は、特に量子化学のような量子力学的応用からアルゴリズム的ノウハウを取り入れる可能性があることです。しかし、これまでのところ、この手法が計算流体力学で要求される精度基準を満たすことができるという証拠はありません。
C. 関数的アプローチ
非線形問題は、より高次元の空間にマッピングすることで線形問題に変換できることは古くから知られています。この技術はカールマン埋め込み（Carleman embedding）またはカールマン線形化（Carleman linearization）としても知られています(31)。カールマン埋め込みは、非線形性を無限次元と非局所性と引き換えにします。線形性を回復するための代替手法は、確率的アプローチを取り、流体速度場の確率分布関数（PDF）に対する関数的運動方程式（リウビル方程式）を定式化することです。形式的には(39)：
$ \partial_t P \lbrack u \rbrack + \frac{\delta}{\delta u} (f(u) P\lbrack u \rbrack) = 0 (4)
ここで、$ P = P\lbrack u \rbrack は関数的PDFで、$ \dot{u} = f(u) は運動方程式（したがって、$ f(u) は関数空間における非線形かつ非局所的な演算子です）。これは、ダイナミクスの非線形性に関わらず、構造的に線形です。流体方程式が$ G の格子ノードでグリッドに離散化されると、リウビル分布$ P_G は$ 3G変量PDF$ P_G(u_1 \ldots u_G) となり、$ O(3G) 次元の空間に存在します。大規模な流れの応用では、$ G は数十億に達することがあり、したがって「次元の呪い」の完全な影響を受けます。
幸いなことに、ほとんどの実用的な目的において、低次の周辺分布（マージナル）が本質的な物理情報を保持するのに十分であることが多いです。マージナリゼーションは異なるマージナル間に結合項を導入することで知られており、したがって、高次のマージナルを低次のマージナルの関数として表現するための適切なクローズャーが必要となります。これは非平衡統計物理学における古典的なトピックであり、現代のテンソルネットワーク理論の進展から大きな利益を得る可能性があります(40, 41)。
このアイデアはさらに一歩進めて、式（4）が線形であるが、依然としてユニタリーでないことに注目できます。(6)では、著者たちはCarleman-Koopman埋め込みを利用して、リウビル方程式を同等の多体シュレーディンガー方程式に変換する方法を提案しました。これは形式的には非常に魅力的ですが、依然として次元の呪いの影響を受けます。たとえ量子化学であっても、数十億の原子を持つ分子をab-initio法で扱う方法は誰も知らないからです。さらに、(6)ではカオス系に対して、ハミルトニアンのスペクトルに含まれる連続モードが非常に扱いにくいことが示されています。
機能的手法の精神を維持して、(42)では、古典的な非線形場理論に適用されたレベルセット法に基づくKoopman-von Neumannアプローチの別の形態が開発されています(42)。この形式主義はハイパーボリックPDEやハミルトン-ジャコビ方程式に適用されていますが、Navier-Stokes方程式への拡張はわずかに扱われており、確固たる結論を引き出すことは難しいです。
D. カールマン埋め込み
インデックス$ mと$ nを導入して相互作用する隣接点を示し、アインシュタインの合計記法を用いると、流体方程式は以下のように線形演算子$ Lと二次演算子$ Qを用いた形式に再構成できます。
$ \frac{du_l}{dt} = L_{lm}u_m + Re , Q_{lm}n_{um}u_n (5)
圧力項は単純化のために削除されていますが、これは些細な問題ではなく、圧力-流れ-応力の結合がカールマン行列の構造に影響を与えるためです。
ここで注意すべきは、格子点$ lでの速度微分の離散化において、1つまたは複数の隣接格子点での速度値が使用されることです。これにより、カールマン線形化が使用されると、新しい変数$ U_{lm} = u_{l,um}が導入され、形式的に線形系が生成されます。方程式系を時間的に前進させることで、カールマン変数がレベル$ kで次のレベル$ k + 1のカールマン変数を含む階層が次第に拡大していきます。各レベルでは、$ k階のテンソルと$ O(G^{\kappa k-1})の独立成分が直面します。ここで$ \kappaは$ Q行列のスパース性を示します。
さらに、テンソルはカールマンレベルとともに直線的に成長する直径を持つ元の場の近傍を占めます。これは、流体方程式の非線形性を引き上げるために、次元の増加と局所性の喪失の両方の大きな代償を払う必要があることを示しています。それにもかかわらず、(32)では、カールマン線形化と量子線形系解法を用いて一次元バーガーズ方程式を解くアルゴリズムが提示されています。提示されたアルゴリズムは、グリッドポイント数に対してポリログスケーリングを示し、つまり古典的アプローチに対して指数的な改善を示します。しかし、与えられた時間範囲$ Tに対して、アルゴリズムの複雑さは$ T^2 \text{Poly}(\log T)となり、古典的ケースに比べて時間的複雑さが大幅に増加します。著者たちは、16のグリッドポイントで4000時間ステップを超えるバーガーズ流の衝撃形成をシミュレーションし、第四次カールマン切断を用いて、理論的な「ノーゴー」分析で予測されたものの10倍のレイノルズ数40に達しました。この歓迎すべき乖離は、更なる分析を促します。
次に重要な問いは、カールマン手法が収束しなくなるレイノルズ数の上限が存在するかどうかです。また、収束する場合、所望の精度を達成するためには、どれだけのカールマンレベルが必要となるのでしょうか？
この答えは、選択された流体方程式の表現によって異なる可能性があります。次に、これに関して有望な候補として、ラティス・ボルツマン法に焦点を当てます(28, 46)。
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5. カールマン・ラティス・ボルツマン法
最近の論文で、Cheungとその同僚たちは、流体の非線形性がレイノルズ数ではなくマッハ数に形式的にエンコードされるため、カールマン線形化にはラティス・ボルツマン法がより便利である可能性があると主張しました。彼らはカールマン・ラティス・ボルツマン法に基づく古典的なテイラー・グリーン渦のシミュレーションを行い、適度なマッハ数で優れた一致を示し、わずか3つのカールマンレベルで成功を収めました(38)。最近では、文献(15)で著者たちは、カールマン法が解析的解に収束することを示し、流体のレイノルズ数が中程度から低い（最大100）場合において、カールマン系が二次で切り捨てられていることを示しました（図3参照）。
ラティス・ボルツマン（LB）法は次のようなスキームに基づいています：
$ f_i(x + v_i\Delta t,t+\Delta t) - f_i(x,t) = - \frac{f_i-f_i^{eq}}{\tau}
ここで、$ f_i(x,t)は、位置xと時間tにおける離散速度$ v_iを持つ代表的な流体パーセルを見つける確率です。上記の式で、$ f_i^{rq}は対応する離散的な局所平衡、$ \tauは局所的な緩和時間で、ラティス流体の粘度を決定します。重要なのは、局所平衡がマッハ数 $ Ma=u/c_s,x_sの二次関数である点です。LB法の定義的な特徴は、一般に小さい固定された数の離散速度$ v_iを使用できることです。例えば、二次元の流れを正方格子上で完全に再現するには、わずか9つの離散速度で十分です。これらの9つの速度は図4に示され、表Iに説明されています。このモデルはD2Q9と呼ばれます。LB法の主要な特徴は、流れが直線に沿って進むことで、離散速度によって定義されます。この操作は正確で、浮動小数点計算を含まず、格子位置xから別の格子位置$ x+v_i\Delta tへのメモリシフトだけを伴います。また、衝突は完全に局所的であり、並列計算に非常に適しています。このため、ナビエ・ストークス方程式のように二次の空間微分を必要とせず、散逸は出現的な特性となります。これらの数学的な優雅さは、方法の計算効率と並列計算への適性の根源にあります。
離散速度ボルツマン形式をナビエ・ストークス法の代わりに使用する主なポイントは、ナビエ・ストークス方程式では非局所性（ストリーミング）が線形であり、非線形性（衝突）が局所的であるのに対し、ナビエ・ストークス方程式では両者が単一の$ u\nabla uという対流項に統合されている点です。
離散速度ボルツマン形式をナビエ・ストークス方程式の代わりに使用する主なポイントは、二重次元の相空間によって、ナビエ・ストークス方程式では非局所性（ストリーミング）が線形であり、非線形性（衝突）が局所的であるのに対し、ナビエ・ストークス方程式ではこの2つが単一の$ u \nabla u対流項に統合される点です。
この非絡み合いは、衝突項の局所性によって古典コンピュータでは非常に有益です。これはシステムを並列計算に非常に適応させます。しかし、量子コンピュータでは、ストリーミングと衝突のステップを関連付けることは簡単ではありません。次にその点について説明します。
ラティス・ボルツマン関数$ f_i(x, t)を量子状態で記述する際には、振幅エンコーディングを使用することができます。ここでは、離散速度$ v_iをエンコードするための量子レジスタ$ | \cdot \rangle_vと、格子サイト$ | \cdot \rangle_xをエンコードするための第二の量子レジスタを使用します。流体は次のような量子状態で記述されます：
$ |\psi(t)\rangle = \sum_i\sum_x f_i(x,t)|i\rangle |x\rangle (7)
衝突ステップは局所的であり、格子サイト内の流体の速度にのみ依存するため、速度に適応した量子レジスタに衝突ステップを実行する演算子$ \hat{\Omega}を適用し、ストリーミングプロセスをエンコードする別の演算子$ \hat{S}をすべての量子レジスタに適用することができます。これは、両方とも非局所的であり速度依存性があるためです。この理想的な回路は図5(a)に示されています。しかし、$ \hat{\Omega}が非線形かつ非単位ary演算子であるため、この回路は実現できません。特定の対称性条件（例えば、参考文献(9)で使用された条件）が満たされない限り、普遍的な量子計算パラダイムには適合しません。
そこで、ストリーミング（衝突）を量子コンピュータで実行し、衝突（ストリーミング）を古典コンピュータで実行するハイブリッド戦略を選択することができます。興味深いことに、これにより異なる回路が生まれます。図5(b)および図5(c)は、衝突のないストリーミングとストリーミングのない衝突プロセスの回路を示しており、次にこれについて説明します。
1. 衝突なしストリーミング
量子コンピューティングでのストリーミングアルゴリズムは、Steijlらのアプローチに基づいています。ストリーミングは、対応する速度に基づいて粒子を隣接する格子サイトに移動させる非局所的なプロセスで、値には影響を与えません。このステップでは、確率関数$ f_i(x, t)を次のタイムステップで$ f_i(x + v_i, t + 1)に移動させます。
量子状態での操作は次の通りです:
$ |ψ(t)\rangle = \sum_i \sum_x f_i(x, t) |i\rangle |x\rangle \hat{S} \rightarrow |ψ(t + 1)⟩ = \sum_i \sum_x f_i(x, t) |i⟩ |x + v_i⟩
このストリーミング演算子$ \hat{S}は、速度レジスタの値に基づいて制御されるマルチキュービット操作として位置レジスタに適用されます。図6には、8 × 8格子に適用された$ \hat{S}_1ストリーミング演算子の例が示されています。
https://scrapbox.io/files/66e92e413875c4001c662028.png
図5: D2Q9モデルのG格子サイトを持つグリッドの異なるLattice-Boltzmann実装のための3つの量子回路のスケッチ。
(a) 衝突が速度レジスタに適用され、ストリーミングが位置と速度の両方のレジスタにグローバルに適用されます。
(b) 進化がD2Q9モデルの8つの速度でのストリーミングのシリーズとして取得されます。
(c) 量子レジスタ$ |k\rangleがトランケーション順序に関する情報を保持し、$ |i\rangleおよび$ |j\rangleがCarleman変数に関連する速度を示します。
https://scrapbox.io/files/66e92f02326728001d163224.png
図6: 8 × 8格子上で定義されたD2Q9モデルのオペレータS1とS2の量子回路。最初の3つのキュービットはx方向の位置をエンコードし、残りの3つはy方向の位置をエンコードします。これらの回路は、速度レジスタの値がそれぞれ1または2の場合にのみ量子状態に適用されます。
2. ストリーミングなし衝突
完全に異なるアプローチが衝突ステップを実行するために採用されます。それは、Carleman線形化に基づく方法です。Lattice Boltzmann法に基づき、Itaniら(33)は、「第二量子化されたLattice Boltzmann」と呼ばれるアプローチを開発しました。この用語は、Boltzmann演算子が以下のように表されるためです：
$ Bf_i = -v_i \cdot \nabla f_i - f_i - f_i^{eq} / \tau
この演算子は、$ \nabla = (\hat{a} - \hat{a}^+)を用いて第二量子化の消滅および生成演算子の関数として表現できます。衝突は、Mezzacapoら(35)によって最初に提案されたボゾニックエンコーディングとして表現され、消散効果は2つのユニタリー演算子の加重和として表されます。このスキームは、LBとDirac方程式との1対1対応に基づいているため、「フェインマン風」と言えます。結果として、フォーマルな解は量子力学と類似の方法で計算できます。しかし、いくつかの追加の問題があります。主に、ボゾニック励起の有限数による切り捨て効果と非ユニタリーエラーの長時間挙動(37)です。
似たようなアプローチで、Sanavioら(15)はCarleman-Lattice Boltzmannアルゴリズムの衝突ステップを実装する量子回路を開発しました。Carleman法では、切り捨て次数$ kに応じて変数の数が指数関数的に増加するため、関連情報をエンコードするためにさらに多くの量子レジスタが必要です。衝突ステップは、$ k + 1の追加量子レジスタを必要とし、これにはローカルBoltzmann関数間の積が含まれます（例えば、$ f_i(x)、$ f_i(x)f_j(y)、$ f_i(x)f_j(y)f_k(z)など）。この設定では、衝突量子回路は本質的にローカルであり、速度レジスタにのみ依存し、格子点の数に関係なく固定された数の2量子ビットゲートを使用して実装できます。これにより、量子優位性の約束が実現しますが、ストリーミングプロセスとは矛盾しているため、ストリーミング処理はクラシックマシンに委ねる必要があります。
これはハイブリッド量子コンピューティングの理想的なオプションのように見えるかもしれませんが、ストリーミングは浮動小数点計算を必要としない操作です。しかし、データへのアクセスは決してコストのかからない操作ではなく、実際には衝突処理にかかるコンピュータ時間のかなりの割合を占めることが知られています(14)。
3. 完全量子アルゴリズム: 衝突とストリーミング
参考文献(15)では、著者たちはストリーミングステップの回路を高次のカルレマン変数に一般化することに成功し、その後、単一のエンコーディングと進化後の結果の単一の読み出しで、カルレマン変数に対してストリーミングと衝突のステップを適用することが可能になりました。これにより、完全な量子アルゴリズムが実現されます。異なる非線形項をエンコードするためには、非線形度の情報をエンコードする量子レジスタを2(k + 1)個、さらに位置と速度のマルチプロダクト関数をエンコードするために2k個の追加量子レジスタが必要です。
この方法は、量子回路の深さがキュービットの数に対して指数関数的に増加することが判明しました。その理由は、衝突オペレーターがスパースで組み合わせ的にブロック対角行列として書けず、またパウリ行列のコンパクトな組み合わせとしても表せないためです。したがって、現時点では量子コンパイルが不可能です。
現在検討中の代替案の一つは、カルレマン線形化法をナビエ-ストークス方程式に直接適用することです。カルレマン-ナビエ-ストークス手法の利点は、カルレマン変数の数が大幅に少なくなり、その結果、回路の深さが削減されることです。しかし、欠点として、カルレマン行列の構造がより複雑になることがあり、レイノルズ数とマッハ数の非線形性の測定と相まって、カルレマン収束に悪影響を及ぼす可能性があります。この方向での詳細な分析が現在進行中です。
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6. 結論
要約すると、私たちは古典流体の量子シミュレーションに関するいくつかの主要なアプローチを概説しました。流体の流れの効率的な量子シミュレーションには、多くの障害があり、特に高レイノルズ数では強い非線形効果が問題となります。いくつかの潜在的な解決策が示されましたが、その実用化にはアルゴリズムの面だけでなく、量子技術の大規模な進展が必要です(47)。
結びとして、量子コンピュータが乱流を扱えると期待される一方で、流体の物理学には低レイノルズ数においても興味深い問題が存在します。例えば、マイクロ流体学、ソフトマター、生物学、さらには高エネルギー物理学、特にクォーク・グルーオンプラズマ実験などが挙げられます(44–46)。したがって、たとえ乱流が量子コンピュータの限界を超えることが証明されても、低中レイノルズ数の流体応用には依然として多くの興味深い分野が存在します。
たとえば、生物分子を水溶液中で量子アルゴリズムを用いて記述し、低レイノルズ流体の量子アルゴリズムと結びつける量子マルチスケールアプリケーションを考案することは、非常に興味深いかもしれません。低レイノルズ流体の流れが非局所的であるため、量子力学の固有の非局所性が古典的な非局所性を表現するのに役立つ可能性があります。
哲学的な観点からも、流体の物理学が「古典的なアドバンテージ」を示す場合でも、学ぶべき興味深い教訓が残ります。実際、自然が古典的でないというのは事実ですが、同様に自然は巨視的スケールや高温で古典的な傾向を持つこともまた事実です。この傾向に抗すること、またはそれを利用することが量子コンピュータの主要な挑戦であり、その実現方法を探ることは、実用的な面だけでなく、基礎的な面でも大きな興味を持つと言えます。これは、量子力学の微視的物理学から古典的な振る舞いがどのように現れるかという「古典化」の問題に新しい光を当てる可能性があるためです。このように、量子コンピュータは量子力学の創始者たちが「Gedanken Experiments」としてのみ考えられた問いを問うユニークな機会を提供しています。
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