等比数列
数列で、隣り合う二項の比が項番号によらず一定であるようなもの
初項$ aで公差$ rで項が$ n項ある等比数列
$ a, ar, ar^2, \cdots , ar^{n-1}
初項が$ aで公比$ r、項が$ nあるときの数列$ Sの等比級数
$ S_n = a \cdot \frac{(1-r^n)}{1-r}
$ S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}
$ -rS_n = -ar -ar^2+ \cdots + -ar^{n-1} - ar^n
$ S_n -rS_n = a - ar^n
$ S_n(1-r) = a(1-r^n)
$ S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}
再帰方程式
Sum of first 30 terms
$ a_1 = 10
$ a_i = a_{i-1}\frac{9}{10}
$ S_{30} = 10 \cdot \frac{(1-(\frac{9}{10})^{30})}{1-\frac{9}{10}} = 100(1-(\frac{9}{10})^{30}) = 95.760884172\ldots