等差数列
「隣接する項が共通の差（公差）を持つ数列」(sequence of numbers with common difference) 算術数列(arithmetic sequence) 等差級数
算術級数(arithmetic series)とも。
等差数列$ Sの総和 $ S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2} = \frac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}
$ \{ 1, 2, 3, \cdots , n \}
$ S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n
$ S_n = n + (n - 1) + (n - 2) + \cdots + 1
$ 2S_n = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + \cdots (n + 1) = n(n + 1)
$ S_n = \frac{n(n+1)}{2}
$ n \cdot \frac{n+1}{2}…$ nは項の数、$ \frac{n+1}{2}は数列$ Sの平均
$ \{ a, a+d, a+2d, \cdots , a + (n-1)d \}
$ S_n = a + a + 0 + a + 2d + \cdots + a + (n-1)d
$ S_n = \{a+(n-1)d\} + \{a+(n-2)d\} + \{a+(n-3)d\} + \cdots + a
$ 2S_n = \{2a + (n-1)d\} + \{2a + (n-1)d\} + \{2a+(n-1)d \}\cdots + \{2a+(n-1)d\} = n\{2a+(n-1)d\}
$ S_n = \frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}
$ 2a+(n-1)dは数列$ Sの平均
項$ nの求め方
初項$ a公差$ d
$ \{a_1, a_2, \cdots ,a_n\}
$ n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1
再帰方程式
再帰的に定義することもできる
$ S_1 = a
$ S_i = S_{i-1} + b
$ i = nのとき$ S_n = a + (n-1) \cdot b
初期値に公差が足される回数をかけるという話
e.g. 650までの等差数列の総和を求める
$ a_1 = 4
$ a_i = a_{i-1} + 11
$ a_{650} = 4 + 649(11) = 7143
$ S_n = \frac{4+7143}{2} \cdot 650 = 2322775