正則行列
$ n次正方行列$ Aについて、
$ AB = BA = I
となる$ n次正方行列$ Bが存在するとき、$ Aは正則行列という。
正方行列は必ずしも正則行列ではない
視点を変えればBも正則行列
$ Bは逆行列といい、$ A^{-1}で表す
$ Aが正則ならば$ Bは一意に定まる＝逆行列は正則行列一つにつき一つしかない
逆行列の性質
$ Aと$ Bが$ n次の正則行列ならば、$ ABも正則で、
$ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
$ (AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = I
$ (B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}B = I
$ A^{-1}の逆行列$ (A^{-1})^{-1} = A
逆行列の求め方
$ A = \left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]
$ A^{-1} = \frac{1}{|A|}\mathrm{adj}(A)
随伴行列(adjugate matrix)
$ A = \left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]
$ \mathrm{adj}(A) = \left[\begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix}\right]
つまり、$ |A| = 0のとき、逆行列は定義されない
行列$ Aはinvertibleか？という問いは行列式が$ 0ではないことで確認できる
$ ab=bc
$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a}{c}= \frac{b}{d}
$ \left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} e \\ f \end{matrix}\right]
$ ax + by = e \Rightarrow y = \frac{-a}{b}+\frac{e}{b}
$ cx + dy = f \Rightarrow y = \frac{-c}{d}+\frac{f}{d}
$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d}のとき、グラフは平行になる
$ \left[\begin{matrix} a \\ c\end{matrix}\right]x + \left[\begin{matrix} b \\ d\end{matrix}\right]y = \left[\begin{matrix} e \\ f \end{matrix}\right]
向きが同じで大きさが違う場合、解が無限に存在する
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