楕円
楕円(ellipse)
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楕円の方程式
標準形
直交座標系で$ x軸の半径を$ a、$ y軸の半径を$ bとすると
$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1
$ a > b > 0のとき
$ 2aを長径(major axis)と呼ぶ。 $ aは長半径(semi major axis)
$ 2bを短径(minor axis)と呼ぶ。 $ bは短半径(semi minor axis)
グラフの移動
中心が$ (h, k)のとき
$ \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
楕円とは
平面上のある2定点からの距離の和が一定となるような点の集合から作られる曲線である。基準となる2定点を焦点という。円錐曲線の一種である。
$ a > b > 0 のとき
焦点距離 $ \mathrm{f}^2 = a^2 - b^2
$ \mathrm{f} = \pm\sqrt{a^2-b^2}
双曲線の焦点と混乱しがち。方程式の符号と逆と覚える。 基本性質
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楕円上の任意$ Pの点と2定点からの距離の和は常に長径($ 2a)と等しくなる
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$ OA=BF_1という性質がある。